Решить уравнение x²+y²-2x+6y=0 в целых числах. Вот ответите укажите наибольшое значение выражения x-3y

Чтобы решить уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в целых числах, сначала преобразим его.

Уравнение можно переписать в виде:

\[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 0 \]

Теперь выделим полный квадрат для \(x\) и \(y\):

1. Для \(x^2 - 2x\) добавим и вычтем 1: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \(y^2 + 6y\) добавим и вычтем 9: \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Таким образом, подставим эти преобразования в уравнение:

\[ ((x - 1)^2 - 1) + ((y + 3)^2 - 9) = 0 \]

Это упрощается до:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

или

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь это уравнение описывает окружность с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Найдем целочисленные решения \((x, y)\).

Переберем целые значения \(x\) и \(y\):

1. Для \( (x - 1)^2 = 0\):

   • \(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \)
   • \((y + 3)^2 = 10 \Rightarrow y + 3 = \pm \sqrt{10}\) (нет целых решений)

2. Для \( (x - 1)^2 = 1\):

   • \(x - 1 = \pm 1 \Rightarrow x = 0 \, \text{или} \, 2 \)
   • \((y + 3)^2 = 9 \Rightarrow y + 3 = \pm 3 \Rightarrow y = 0 \, \text{или} \, -6\)

   То есть решения:

   • \((0, 0)\)
   • \((0, -6)\)
   • \((2, 0)\)
   • \((2, -6)\)

3. Для \( (x - 1)^2 = 4\):

   • \(x - 1 = \pm 2 \Rightarrow x = -1 \, \text{или} \, 3 \)
   • \((y + 3)^2 = 6\) (нет целых решений).

4. Для \( (x - 1)^2 = 5\):

   • \(x - 1 = \pm \sqrt{5}\) (нет целых решений).

Итак, у нас есть целочисленные решения:

• \((0, 0)\)
• \((0, -6)\)
• \((2, 0)\)
• \((2, -6)\)

Теперь найдем наибольшее значение выражения \(x - 3y\):

1. Для \((0, 0)\): \[ 0 - 3 \cdot 0 = 0 \]

2. Для \((0, -6)\): \[ 0 - 3 \cdot (-6) = 18 \]

3. Для \((2, 0)\): \[ 2 - 3 \cdot 0 = 2 \]

4. Для \((2, -6)\): \[ 2 - 3 \cdot (-6) = 20 \]

Сравнивая все полученные значения, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно \(20\).

Таким образом, наибольшее значение \(x - 3y\) для целых чисел, удовлетворяющих данному уравнению, составляет 20.