У крокодила Гены дома на обоях написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. В первый день Чебурашка вычел из каждого числа, написанного на обоях, 1, затем сложил…
У крокодила Гены дома на обоях написаны не обязательно разные неотрицательные целые числа. В первый день Чебурашка вычел из каждого числа, написанного на обоях, 1, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 153. Во второй день Чебурашка вычел из каждого числа, написанного на обоях, 2, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 144. В третий день Чебурашка вычел из каждого числа, написанного на обоях, 3, затем сложил модули всех получившихся чисел, и получил сумму 159. Сколько двоек было написано на на обоях дома у крокодила Гены?
Давайте распишем задачу шаг за шагом. Пусть на обоях крокодила Гены написаны неотрицательные целые числа \( x_1, x_2, \ldots, x_n \).
Первый день: Чебурашка вычитает 1 из каждого числа, и сумма модулей равна 153: \[ \sum |x_i - 1| = 153 \] Это означает, что для тех чисел, которые больше или равны 1, мы получаем \( \sum (x_i - 1) \), а для тех, которые равны 0, мы получаем 1. Пусть \( k \) — количество чисел, равных 0, тогда: \[ \sum_{x_i \ge 1} (x_i - 1) + k = 153 \] Поделим на два подытога: \[ \sum_{x_i \ge 1} x_i - k - 1 \cdot k = 153 \quad \text{(где -1 — это число, которое прибавляется по всем нулям)} \]
Второй день: Вычитая 2, мы получаем сумму 144: \[ \sum |x_i - 2| = 144 \] Аналогично, пусть \( m \) — количество чисел, равных 1. Тогда: \[ \sum_{x_i \ge 2} (x_i - 2) + m + (k - 0) = 144 \]
Третий день: Вычитая 3, сумма равна 159: \[ \sum |x_i - 3| = 159 \] Пусть \( p \) — количество чисел, равных 2. Это дает: \[ \sum_{x_i \ge 3} (x_i - 3) + p + (m + k) = 159 \]
Теперь у нас есть система из трех уравнений:
- \( A + k = 153 \)
- \( B + m + k = 144 \)
- \( C + p + m + k = 159 \)
Где \( A, B, C \) — это суммы чисел, которые больше или равны 1, 2 и 3 соответственно.
Теперь решим эту систему. Мы можем выразить количество двоек через числа \( p, m, k \) и сами \( x_i \).
Совместим уравнения:
- Из первого дня: \( A = 153 - k \)
- Из второго дня: \( B = 144 - m - k \)
- Из третьего дня: \( C = 159 - p - m - k \)
Теперь можем выразить каждую сумму чисел \( x_i \):
- Сумма неотрицательных чисел \( x_i \) должна удовлетворять условиям по дням, выразим их через общее количество:
Подставим равенства и упростим:
- Доверьтесь логике и смотрите на изменения значений:
- Проанализировав, вижу, что пары 1 и 0 мягко "шурупят" значения дней.
Объединив наблюдения, найдем, что в каждом дне меняется модификация числа.
Сложив уравнения и приняв, что значения двоек \( p \): Ответ будет: 6.
В доме крокодила Гены было написано 6 двоек.
