8387
Привет! Давай разберёмся с задачей.
Нам нужно решить уравнение:
x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0
в целых числах и найти наибольшее значение выражения x - 3y.
Шаги решения:
Перепишем уравнение в более удобной форме.
Давайте выделим полный квадрат:
- x^2 - 2x можно переписать как (x - 1)^2 - 1.
- y^2 + 6y можно переписать как (y + 3)^2 - 9.
Теперь уравнение выглядит так: (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0
Упростим уравнение:
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10
Это уравнение окружности с центром в точке (1, -3) и радиусом корень из 10.
Найдём целочисленные решения.
Нужно найти целочисленные (x, y), которые удовлетворяют этому уравнению.
Проверим возможные комбинации целых чисел:
Если x = 4, то (4 - 1)^2 = 3^2 = 9. Нам нужно, чтобы (y + 3)^2 = 1, т.е. y + 3 = ±1, следовательно, y = -2 или y = -4.
Если x = -2, то (-2 - 1)^2 = (-3)^2 = 9. Тогда (y + 3)^2 = 1, и y = -2 или y = -4.
Вычислим x - 3y для каждой пары и найдём максимальное значение:
- Для (x, y) = (4, -2): x - 3y = 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10.
- Для (x, y) = (4, -4): x - 3y = 4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16.
- Для (x, y) = (-2, -2): x - 3y = -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4.
- Для (x, y) = (-2, -4): x - 3y = -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10.
Наибольшее значение x - 3y равно 16.
Если что-то непонятно, пиши, давай обсудим ещё!
