В прямоугольнике 𝐴𝐵𝐶𝐷 со сторонами 𝐴𝐵 = 10 и 𝐵𝐶 = 15 диагональ 𝐵𝐷 разбита на 4 равные части точками 𝐹, 𝐸 и 𝐺, как показано на рисунке 2. Найдите сумму закрашенных площадей.

Чтобы решить задачу, давайте сначала приведем основные данные и найдем длину диагонали \( BD \) в прямоугольнике \( ABCD \) со сторонами \( AB = 10 \) и \( BC = 15 \).

Шаг 1: Найдем длину диагонали

Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора. Формула для расчета диагонали \( d \) выглядит следующим образом:

\[ d = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 15^2} = \sqrt{100 + 225} = \sqrt{325} = 5\sqrt{13} \]

Шаг 2: Разделим диагональ на 4 равные части

Теперь, так как диагональ разбита на 4 равные части, длина каждой части будет составлять:

\[ \frac{d}{4} = \frac{5\sqrt{13}}{4} \]

Шаг 3: Определим координаты и площади закрашенных фигур

С точки \( B(10, 0) \) и \( D(0, 15) \) (принимая, что \( A(0, 0) \) и \( C(10, 15) \)), мы можем найти координаты точек \( F \), \( E \) и \( G \) на диагонали. Параметрические уравнения для точки \( P \) на линии \( BD \) будут выглядеть так:

\[ P(t) = (10 - 10t, 15t), \quad t \in [0, 1] \]

Здесь при \( t = 0 \) мы находимся в \( B \), а при \( t = 1 \) — в \( D \).

Координаты точек будут:

• \( F \) (при \( t = \frac{1}{4} \)): \[ F\left(10 - 10 \cdot \frac{1}{4}, 15 \cdot \frac{1}{4}\right) = (7.5, 3.75) \]

• \( E \) (при \( t = \frac{1}{2} \)): \[ E\left(10 - 10 \cdot \frac{1}{2}, 15 \cdot \frac{1}{2}\right) = (5, 7.5) \]

• \( G \) (при \( t = \frac{3}{4} \)): \[ G\left(10 - 10 \cdot \frac{3}{4}, 15 \cdot \frac{3}{4}\right) = (2.5, 11.25) \]

Теперь точки \( F, E, G \) определены.

Шаг 4: Вычислим площади закрашенных треугольников

Согласно описанию, необходимо найти суммы площадей треугольников \( ABF \), \( ABE \) и \( ABG \).

Итак, площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \]

Для треугольника \( ABF \):

• основание \( AB = 10 \)
• высота от точки \( F \) до линии \( AB \) равна \( 3.75 \)

Площадь \( S_{ABF} \):

\[ S_{ABF} = \frac{1}{2} \times 10 \times 3.75 = 18.75 \]

Аналогично для треугольника \( ABE \):

• высота от точки \( E \) до линии \( AB \) равна \( 7.5 \)

Площадь \( S_{ABE} \):

\[ S_{ABE} = \frac{1}{2} \times 10 \times 7.5 = 37.5 \]

И для треугольника \( ABG \):

• высота от точки \( G \) до линии \( AB \) равна \( 11.25 \)

Площадь \( S_{ABG} \):

\[ S_{ABG} = \frac{1}{2} \times 10 \times 11.25 = 56.25 \]

Шаг 5: Найдем сумму закрашенных площадей

Теперь сложим все площади:

\[ S_{total} = S_{ABF} + S_{ABE} + S_{ABG} = 18.75 + 37.5 + 56.25 = 112.5 \]

Таким образом, сумма закрашенных площадей равна \( 112.5 \) квадратных единиц.