Найди площадь треугольника MNK , в котором ∠M=45° , из точки N проведена высота NQ , при этом MQ=3 мм, QK=6 мм.

Для нахождения площади треугольника MNK, в котором известен угол M (∠M=45°), можно использовать высоту NQ и основание MQ.

Сначала определим сторону MK:

Длина стороны MK равна сумме MQ и QK: \[ MK = MQ + QK = 3 \, \text{мм} + 6 \, \text{мм} = 9 \, \text{мм}. \]

Теперь можем использовать формулу площади треугольника через основание и высоту:

Площадь треугольника (S) вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times основание \times высота. \] В нашем случае основание — это MK, а высота — это NQ. Для нахождения высоты NQ, воспользуемся тригонометрическими соотношениями в треугольнике.

В треугольнике MNQ, где NQ — высота, мы можем выразить NQ через MQ и угол M:

\[ NQ = MQ \cdot \sin(\angle M). \] Подставим значения: \[ NQ = 3 \, \text{мм} \cdot \sin(45°) = 3 \, \text{мм} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 3 \cdot 0.7071 \approx 2.121 \, \text{мм}. \]

Теперь можно найти площадь треугольника MNK:

\[ S = \frac{1}{2} \times MK \times NQ = \frac{1}{2} \times 9 \, \text{мм} \times 2.121 \, \text{мм} \approx \frac{9 \times 2.121}{2} \approx \frac{19.089}{2} \approx 9.5445 \, \text{мм}^2. \]

Таким образом, площадь треугольника MNK примерно равна 9.54 мм².