Дан равносторонний треугольник АВС. Провели прямую, которая пересекла сторону треугольника АВ в точке С1 сторону ВС в точке А1 а продолжение стороны АВ в точке В1. Известно что…

Для решения данной задачи сначала обозначим длину стороны равностороннего треугольника ABC как \( a \).

В соответствии с условиями, мы имеем пропорции:

\[ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{5}{2} \quad \text{и} \quad \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{5}{2}. \]

Обозначим:

• \( AC_1 = 5x \)
• \( C_1B = 2x \)

Тогда длина стороны \( AB \) будет:

\[ AC_1 + C_1B = 5x + 2x = 7x. \]

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то \( AB = AC = BC \), и значит:

\[ 7x = a \Rightarrow x = \frac{a}{7}. \]

Теперь рассмотрим вторую пропорцию. Мы знаем, что \( A_1C \) и \( BA_1 \) также могут быть определены как:

\[ BA_1 = 5y, \quad A_1C = 2y \implies BA_1 + A_1C = 5y + 2y = 7y. \]

Опять же, поскольку \( BA_1 + A_1C \) соответствует стороне \( BC \):

\[ 7y = a \Rightarrow y = \frac{a}{7}. \]

Теперь у нас есть

• \( AC_1 = 5x = \frac{5a}{7} \)
• \( C_1B = 2x = \frac{2a}{7} \)
• \( BA_1 = 5y = \frac{5a}{7} \)
• \( A_1C = 2y = \frac{2a}{7} \)

Теперь нам необходимо найти значение \( \frac{AC}{CB_1} \).

Для \( CB_1 \) обозначим его длину. \( C \) находится на продолжении \( AB \), а точка \( B_1 \) — это точка, где прямая пересекает продолжение \( AB \).

Зная, что \( B_1B = 5k \) и \( CB_1 = k + CB \), можно выразить \( CB_1 \):

\[ CB_1 = C_1B + B_1B = 2x + 5k. \]

Для того, чтобы выразить \( k \), мы можем использовать пропорциональности. Сравнивая пропорции и учитывая, что все длины пропорциональны \( a \), можно установить, что:

\[ CB_1 \text{ соответствует } \left( 2x + 5k \right). \]

Итак, по аналогии и используя значения \( x \):

При заданных пропорциях видно, что \( AC / CB_1 \) также будет равно заданному коэффициенту с учетом \( 5 + 2 + 5 \), что в итоге дает:

\[ \frac{AC}{CB_1} = \frac{5a/7}{2x + 5k}. \]

При подстановке всех значений и нахождении отношения получаем, что ответ будет соответствовать:

\[ \frac{AC}{CB_1} = \frac{5}{7}. \]

Таким образом, мы найдем, что значение \( \frac{AC}{CB_1} \) равно \( \frac{5}{1} \).

И таким образом:

\[ \boxed{5}. \]