Решите в натуральных числах уравнение m в квадрате =55+n в квадрате

Для решения уравнения \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, мы можем привести его к следующему виду:

\[ m^2 - n^2 = 55 \]

Это уравнение можно представить как разность квадратов:

\[ (m - n)(m + n) = 55 \]

Теперь рассмотрим делители числа 55. Пары делителей числа 55: (1, 55), (5, 11).

Теперь для каждой пары делителей обозначим \( m - n = a \) и \( m + n = b \):

1. Для пары \( (1, 55) \):

   • \( m - n = 1 \)
   • \( m + n = 55 \)

   Сложим эти два уравнения:

   \[ 2m = 56 \implies m = 28 \] \[ 2n = 54 \implies n = 27 \]

2. Для пары \( (5, 11) \):

   • \( m - n = 5 \)
   • \( m + n = 11 \)

   Сложим эти два уравнения:

   \[ 2m = 16 \implies m = 8 \] \[ 2n = 6 \implies n = 3 \]

Теперь у нас есть два решения в натуральных числах:

1. \( (m, n) = (28, 27) \)
2. \( (m, n) = (8, 3) \)

Таким образом, решения уравнения \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах: \( (28, 27) \) и \( (8, 3) \).