Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то…

Чтобы найти наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее условиям задачи, начнем с обозначения нашего числа как \( xyz \), где \( x \), \( y \), и \( z \) — это его цифры. Условия задачи можно выразить в виде уравнений:

1. Сумма цифр: \( x + y + z = 15 \)
2. Сумма квадратов цифр: \( x^2 + y^2 + z^2 = 89 \)
3. Если из числа \( xyz \) вычесть 99, то получится число \( zyx \) (число, составленное из тех же цифр в обратном порядке).

Число \( xyz \) можно записать как \( 100x + 10y + z \), а число \( zyx \) как \( 100z + 10y + x \). Из третьего условия следует, что:

\[ 100x + 10y + z - 99 = 100z + 10y + x \]

Упростим это уравнение:

\[ 100x + z - 99 = 100z + x \] \[ 99x - 99z = 99 \] \[ x - z = 1 \]

Таким образом, \( x = z + 1 \).

Теперь подставим \( x \) в первое уравнение:

\[ (z + 1) + y + z = 15 \] \[ 2z + y + 1 = 15 \] \[ 2z + y = 14 \] \[ y = 14 - 2z \]

Теперь подставим \( x \) и \( y \) в второе уравнение:

\[ (z + 1)^2 + (14 - 2z)^2 + z^2 = 89 \]

Распишем каждое выражение:

\[ (z^2 + 2z + 1) + (196 - 56z + 4z^2) + z^2 = 89 \]

Соберем всё это:

\[ 6z^2 - 54z + 197 = 89 \] \[ 6z^2 - 54z + 108 = 0 \]

Теперь упростим уравнение, разделив на 6:

\[ z^2 - 9z + 18 = 0 \]

Находим корни с помощью дискриминанта:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \] \[ z_{1,2} = \frac{9 \pm 3}{2} \]

Таким образом, получаем:

\[ z_1 = 6, \quad z_2 = 3 \]

Теперь подставим значения \( z \) обратно, чтобы найти \( x \) и \( y \):

1. Для \( z = 6 \):

   • \( x = 6 + 1 = 7 \)
   • \( y = 14 - 2 \cdot 6 = 2 \)
   • Число: \( 726 \)

2. Для \( z = 3 \):

   • \( x = 3 + 1 = 4 \)
   • \( y = 14 - 2 \cdot 3 = 8 \)
   • Число: \( 483 \)

Наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, — это 726.

Таким образом, ответ на задачу: 726.