решите в натуральных числах уравнение m2=55+n2 в ответе запишите сумму полученных значений m

Решим уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \).

Перепишем его в удобной форме: \[ m^2 - n^2 = 55. \] Это уравнение можно представить в виде разности квадратов: \[ (m - n)(m + n) = 55. \]

Теперь найдем все пары натуральных чисел \( (a, b) \), такие что \( ab = 55 \), где \( a = m - n \) и \( b = m + n \).

Натуральные делители числа 55:

• \( 1 \times 55 \)
• \( 5 \times 11 \)

Теперь рассмотрим каждую пару:

1. Для \( (a, b) = (1, 55) \): \[ m - n = 1, \quad m + n = 55. \] Складывая уравнения, получаем: \[ 2m = 56 \implies m = 28. \] Подставляем значение \( m \) в одно из уравнений для нахождения \( n \): \[ 28 - n = 1 \implies n = 27. \]

2. Для \( (a, b) = (5, 11) \): \[ m - n = 5, \quad m + n = 11. \] Складывая уравнения, получаем: \[ 2m = 16 \implies m = 8. \] Подставляем значение \( m \) в одно из уравнений: \[ 8 - n = 5 \implies n = 3. \]

Теперь у нас есть два решения \( (m, n) \):

1. \( (28, 27) \)
2. \( (8, 3) \)

Сумма значений \( m \): \[ 28 + 8 = 36. \]

Ответ: 36.