Решите в натуральных числах уравнение т2 - 55 + пг. В ответ запишите сумму полученных значений т.

Чтобы решить уравнение \( t^2 - 55 + tg = 0 \) в натуральных числах, сначала упростим его и приведем к стандартному виду. У нас есть квадратное уравнение, которое можем записать как:

\[ t^2 + tg - 55 = 0. \]

Теперь, чтобы решить это уравнение, воспользуемся методом дискриминанта. Дискриминант \( D \) для уравнения \( at^2 + bt + c = 0 \) вычисляется по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac, \]

где \( a = 1 \), \( b = g \), \( c = -55 \). Таким образом, мы находим:

\[ D = g^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-55) = g^2 + 220. \]

Чтобы уравнение имело натуральные корни \( t \), дискриминант должен быть неотрицательным и, кроме того, корень самого уравнения \( t \) должен также быть натуральным. Корни уравнения можно найти по формуле:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-g \pm \sqrt{g^2 + 220}}{2}. \]

Чтобы оба корня были натуральными числами, выражение \( -g + \sqrt{g^2 + 220} \) должно быть четным и положительным.

Таким образом, нам нужно выбрать такие значения \( g \), при которых \( \sqrt{g^2 + 220} \) будет целым числом. Положим \( k = \sqrt{g^2 + 220} \), откуда получится:

\[ k^2 = g^2 + 220 \] \[ k^2 - g^2 = 220 \] \[ (k - g)(k + g) = 220. \]

Теперь давайте найдем делители числа 220, чтобы решить это уравнение. Делителями 220 являются следующие пары:

• \( (1, 220) \)
• \( (2, 110) \)
• \( (4, 55) \)
• \( (5, 44) \)
• \( (10, 22) \)
• \( (11, 20) \)

Каждая пара \( (d_1, d_2) \) из делителей удовлетворяет уравнению \( k - g = d_1 \) и \( k + g = d_2 \).

Решая для \( g \) и \( k \), можно выразить:

1. \( k = \frac{d_1 + d_2}{2} \)
2. \( g = \frac{d_2 - d_1}{2} \)

Теперь рассмотрим каждую пару делителей для поиска значений \( g \):

1. Для \( (1, 220) \):

   • \( k = 110.5 \) (не целое)

2. Для \( (2, 110) \):

   • \( k = 56 \), \( g = 54 \)

3. Для \( (4, 55) \):

   • \( k = 29.5 \) (не целое)

4. Для \( (5, 44) \):

   • \( k = 24.5 \) (не целое)

5. Для \( (10, 22) \):

   • \( k = 16 \), \( g = 6 \)

6. Для \( (11, 20) \):

   • \( k = 15.5 \) (не целое)

Теперь подставим найденные значения \( g \) в уравнение для \( t \):

1. Если \( g = 54 \):

   • \( t = \frac{-54 + 56}{2} = 1 \)
   • \( t = \frac{-54 - 56}{2} = -55 \) (не натуральное)

2. Если \( g = 6 \):

   • \( t = \frac{-6 + 16}{2} = 5 \)
   • \( t = \frac{-6 - 16}{2} = -11 \) (не натуральное)

Итак, у нас есть только значение \( t = 5 \) для \( g = 6 \).

Теперь запишем сумму всех найденных значений \( t \):

\[ \text{Сумма } t = 5. \]

Таким образом, ответом на задачу будет 5.