Решите неравенство 4/х<=4-х в ответ запишите сумму целых решений неравенства принадлежащих промежутку [-6;6]
Для решения неравенства \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), сначала избавимся от дроби. Умножим обе стороны на \( x \), но надо помнить, что если \( x < 0 \), знак неравенства поменяется.
Разделим решение на два случая: \( x > 0 \) и \( x < 0 \).
Случай 1: \( x > 0 \)
Умножаем неравенство на \( x \):
\[ 4 \leq x(4 - x) \]
Или, переписывая, получаем:
\[ x^2 - 4x + 4 \geq 0 \]
Это квадратное неравенство можно упростить:
\[ (x - 2)^2 \geq 0 \]
Оно выполняется для всех \( x \). Однако, необходимо учесть, что мы рассматриваем \( x > 0 \). Следовательно, это условие выполняется для всех \( x \geq 0 \).
Случай 2: \( x < 0 \)
Умножаем на \( x \), при этом знак неравенства меняется:
\[ 4 \geq x(4 - x) \]
Или:
\[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \]
Это тоже квадратное неравенство:
\[ (x - 2)^2 \leq 0 \]
Оно выполняется только в точке \( x = 2 \). Поскольку \( x < 0 \), это не дает решения в данном случае.
Таким образом, решения получаем только из первого случая, и неравенство выполняется для всех \( x \geq 0 \).
Теперь находим целые решения неравенства в интервале \([-6; 6]\):
Целые числа в этом диапазоне: \(-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\).
Из них подходящие целые решения, удовлетворяющие условию \( x \geq 0 \):
\[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. \]
Теперь находим их сумму:
\[ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. \]
Ответ: 21.
