Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша — фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и…

Обозначим время, в течение которого Маша делала бантики, как \( t_1 \) часов, а время, в течение которого Даша делала фантики, как \( t_2 \) часов. Поскольку они поменялись, Маша также будет делать фантики в это время, поэтому давайте обозначим время, в течение которого они менялись, как \( t_x \).

1. Пусть скорость Маши по изготовлению бантиков равна \( v \) (бантиков в час), тогда скорость Даши по изготовлению фантиков равна \( 4v \).

2. Пусть количество изготовленных бантиков каждым из них равняется \( b \). Тогда: \[ b = v \cdot t_1 \quad \text{(для Маши)} \] \[ b = 4v \cdot t_2 \quad \text{(для Даши)} \] Таким образом, равенство производит: \[ v \cdot t_1 = 4v \cdot t_2 \implies t_1 = 4t_2 \] Это значит, что время, потраченное Машей на изготовление бантиков, в 4 раза больше времени, потраченного Дашей на изготовление фантиков.

3. Общее количество фантиков, сделанных ими вместе, составляет 850 штук. Поскольку Даша работает в 4 раза быстрее, то:

   \[ \text{Фантики, изготовленные Дашей: } 4v \cdot (t_x + t_2) \] \[ \text{Фантики, изготовленные Машей: } v \cdot t_x \]

   И составим уравнение: \[ 4v \cdot (t_x + t_2) + v \cdot t_x = 850 \] Чтобы упростить, вынесем \( v \): \[ v \cdot (4(t_x + t_2) + t_x) = 850 \] \[ v \cdot (5t_x + 4t_2) = 850 \]

4. Теперь подставим \( t_2 = \frac{t_1}{4} \) (из пункта 2) в уравнение делая \( t_1 = 4t_2 \): \[ v \cdot (5t_x + 4 \cdot \frac{t_1}{4}) = 850 \implies v \cdot (5t_x + t_1) = 850 \implies v \cdot (5t_x + 4t_2) = 850 \]

5. Анализируя обе части уравнения: \[ t_x = t_2 \quad \text{(так как Даша делала в 4 раза быстрее)} \] \[ 4 \cdot t_2 + t_2 = 5t_2 \]

6. Таким образом, у нас есть 850 = \( v \cdot (5t_2) \).

7. Чтобы найти количество фантиков, изготовленных Машей: \[ v \cdot t_x = \frac{850}{5} = 170 (фантиков) \]

В итоге, Маша изготовила 170 фантиков.