Решите уравнение х2+у2-2х+6у=0 в целых числах в ответе укажите наибольшее значение выражения х-3у

Решим уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\). Для упрощения, давайте сначала перезапишем его в более удобной форме. Мы можем выделить полный квадрат для \(x\) и \(y\).

1. Перепишем уравнение: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 + 6y) = 0 \]

2. Теперь выделим полный квадрат для \(x\): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

3. И для \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

4. Подставим обратно в уравнение: \[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Теперь мы видим, что это уравнение окружности с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). Поскольку радиус \(\sqrt{10}\) примерно равен \(3.16\), мы можем найти целые точки на окружности. Возможные пары \((x - 1, y + 3)\), такие что сумма квадратов равна 10, это:

• \((\pm 1, \pm 3)\)
• \((\pm 3, \pm 1)\)
• \((\pm 0, \pm \sqrt{10})\), но они не целые.

Соберем целые решения для \((x - 1, y + 3)\):

1. \( (1, 3) \) даёт: \( x = 2, y = 0 \)

2. \( (-1, 3) \) даёт: \( x = 0, y = 0 \)

3. \( (1, -3) \) даёт: \( x = 2, y = -6 \)

4. \( (-1, -3) \) даёт: \( x = 0, y = -6 \)

5. \( (3, 1) \) даёт: \( x = 4, y = -2 \)

6. \( (-3, 1) \) даёт: \( x = -2, y = -2 \)

7. \( (3, -1) \) даёт: \( x = 4, y = -4 \)

8. \( (-3, -1) \) даёт: \( x = -2, y = -4 \)

Теперь подставим найденные целые значения в выражение \(x - 3y\):

1. Для \( (2, 0) \): \(2 - 3 \cdot 0 = 2\)
2. Для \( (0, 0) \): \(0 - 3 \cdot 0 = 0\)
3. Для \( (2, -6) \): \(2 - 3 \cdot (-6) = 2 + 18 = 20\)
4. Для \( (0, -6) \): \(0 - 3 \cdot (-6) = 0 + 18 = 18\)
5. Для \( (4, -2) \): \(4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10\)
6. Для \( (-2, -2) \): \(-2 - 3 \cdot (-2) = -2 + 6 = 4\)
7. Для \( (4, -4) \): \(4 - 3 \cdot (-4) = 4 + 12 = 16\)
8. Для \( (-2, -4) \): \(-2 - 3 \cdot (-4) = -2 + 12 = 10\)

Теперь сравним все значения: \(2, 0, 20, 18, 10, 4, 16, 10\).

Наибольшее значение \(x - 3y\) равно \(20\).

Таким образом, наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно \(20\).