Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то…

Обозначим трёхзначное число как \( \overline{abc} = 100a + 10b + c \), где \( a, b, c \) — цифры числа (от 0 до 9), и \( a \) не может быть 0, так как это трёхзначное число. Теперь запишем условия задачи в виде уравнений:

1. Сумма цифр: \[ a + b + c = 15 \]

2. Сумма квадратов цифр: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 89 \]

3. Если вычесть 99, получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке: \[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \] Упростим это уравнение: \[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \] \[ 100a - a + c - 100c - 99 = 0 \] \[ 99a - 99c - 99 = 0 \] \[ 99(a - c) - 99 = 0 \rightarrow a - c = 1 \rightarrow a = c + 1 \]

Теперь мы можем подставить \( a = c + 1 \) в первые два уравнения.

Подставим \( a \) в первое уравнение: \[ (c + 1) + b + c = 15 \rightarrow 2c + b + 1 = 15 \rightarrow 2c + b = 14 \rightarrow b = 14 - 2c \]

Теперь подставим \( a \) в второе уравнение: \[ (c + 1)^2 + b^2 + c^2 = 89 \] \[ (c^2 + 2c + 1) + b^2 + c^2 = 89 \] \[ 2c^2 + 2c + 1 + b^2 = 89 \rightarrow 2c^2 + 2c + 1 + (14 - 2c)^2 = 89 \] Раскроем скобки: \[ (14 - 2c)^2 = 196 - 56c + 4c^2 \] Теперь подставим обратно: \[ 2c^2 + 2c + 1 + 196 - 56c + 4c^2 = 89 \] \[ 6c^2 - 54c + 197 = 89 \rightarrow 6c^2 - 54c + 108 = 0 \] Делим на 6: \[ c^2 - 9c + 18 = 0 \] Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \] Корни: \[ c = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2} \] \[ c_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad c_2 = \frac{6}{2} = 3 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( a \) и \( b \):

1. Для \( c = 6 \): \[ a = c + 1 = 7, \quad b = 14 - 2 \cdot 6 = 2 \] Число: \( 726 \)

2. Для \( c = 3 \): \[ a = c + 1 = 4, \quad b = 14 - 2 \cdot 3 = 8 \] Число: \( 483 \)

Теперь проверим, какое из этих чисел — наибольшее:

• Число 726:
  • Сумма цифр: \( 7 + 2 + 6 = 15 \)
  • Сумма квадратов цифр: \( 7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89 \)
  • Проверим условие с вычитанием: \[ 726 - 99 = 627 \] Число 726 действительно при вычитании даёт 627, что является обратным числом.

Следовательно, наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, равно: \[ \boxed{726} \]