сколько различных решений имеет система уравнений: {(x+y)(x-3y+1)(x-y)=0 (2y-x-1)(x+y-4)y=0

Чтобы определить количество различных решений данной системы уравнений, рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1. Первое уравнение: \((x+y)(x-3y+1)(x-y)=0\)

Это уравнение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Разберем каждый из множителей:

• \(x+y=0 \Rightarrow y=-x\)
• \(x-3y+1=0 \Rightarrow x=3y-1\)
• \(x-y=0 \Rightarrow x=y\)

Теперь у нас есть три линии в координатной плоскости, которые представляют решения первого уравнения.

2. Второе уравнение: \((2y-x-1)(x+y-4)y=0\)

Здесь также мы можем выделить множители:

• \(2y-x-1=0 \Rightarrow x=2y-1\)
• \(x+y-4=0 \Rightarrow x=4-y\)
• \(y=0\)

Аналогично, у нас есть три решения для второго уравнения.

Теперь мы можем рассмотреть все возможные пересечения решений из обоих уравнений.

1. Пересечение линий первого уравнения:

   • \(y=-x\) и \(x=y\) дают точку \((0, 0)\).
   • \(y=-x\) и \(x=3y-1\) подставляем \(y=-x\) в \(x=3y-1\) получаем \(x=3(-x)-1\) \(\Rightarrow 4x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{4} \Rightarrow y=\frac{1}{4}\).
   • \(x=3y-1\) и \(x=4-y\) решаем систему: \(3y-1=4-y \Rightarrow 4y=5 \Rightarrow y=\frac{5}{4} \Rightarrow x=\frac{11}{4}\).

2. Пересечение линий второго уравнения:

   • \(y=0\) дает решение \(y=0\). Подставляем в другие уравнения, чтобы найти связанные \(x\).
   • Для \(x=2y-1\) при \(y=0\) получаем \(x=-1\).
   • Для \(x=4-y\) под \(y=0\) получаем \(x=4\).

Теперь из всех решений, которые мы нашли, составим множество уникальных решений:

1. \((0, 0)\)
2. \(\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{4}\right)\)
3. \(\left(\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\right)\)
4. \((-1, 0)\)
5. \((4, 0)\)

Итак, в итоге у нас есть 5 различных решений системы уравнений.