Решите уравнение х2 у2 - 2х 6у = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - Зу.
Для решения уравнения \( x^2 y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, сначала перепишем его в удобном виде:
\[ x^2 y^2 = 2x - 6y \]
Перепишем уравнение и выразим \( x \):
\[ x^2 y^2 - 2x + 6y = 0 \]
Это уравнение является квадратным относительно \( x \). Применим формулу дискриминанта \( D \) для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( a = y^2 \)
- \( b = -2 \)
- \( c = 6y \)
Тогда, подставляем значения:
\[ D = (-2)^2 - 4(y^2)(6y) = 4 - 24y^3 \]
Для того чтобы \( x \) был целым числом, необходимо, чтобы дискриминант \( D \) был неотрицательным:
\[ 4 - 24y^3 \geq 0 \]
Отсюда:
\[ 4 \geq 24y^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{6} \geq y^3 \quad \Rightarrow \quad y \leq 0 \]
Теперь проверим, какие значения может принимать \( y \):
- Если \( y = 0 \):
\[ D = 4 - 24 \cdot 0 = 4 \quad (D \geq 0) \] \[ x^2(0) - 2x + 0 = 0 \quad \Rightarrow \quad -2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \] Таким образом, \( (x, y) = (0, 0) \).
- Если \( y = -1 \):
\[ D = 4 - 24(-1)^3 = 4 + 24 = 28 \quad (D \geq 0) \] \[ x^2(-1)^2 - 2x + 6(-1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 6 = 0 \] Дискриминант этого уравнения: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 4 + 24 = 28 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2} = 1 \pm \sqrt{7} \] Но \( x \) не будет целым числом.
- Если \( y = -2 \):
\[ D = 4 - 24(-2)^3 = 4 + 192 = 196 \quad (D \geq 0) \] \[ x^2(-2)^2 - 2x + 6(-2) = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 - 2x - 12 = 0 \] \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-12) = 4 + 192 = 196 \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{196}}{8} = \frac{2 \pm 14}{8} \quad \Rightarrow \quad x = 2, -3/4 \quad \text{(не целое)} \]
И так далее, можно показать, что только \( y = 0 \), дает целое решение.
Теперь найдём \( x - 3y \):
Для найденной пары \( (0, 0) \), наибольшее значение выражения \( x - 3y \) будет:
\[ x - 3y = 0 - 3(0) = 0 \]
Поэтому максимальное значение выражения \( x - 3y = 0 \).
Следовательно, ответ: \[ 0 \]
