Решите уравнение х^2+ y^2- 2х + 6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - зу.

Давайте сначала преобразуем данное уравнение:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0. \]

Мы можем привести его к канонической форме, выделив полный квадрат для переменных \( x \) и \( y \).

Для \( x \): \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1. \]

Для \( y \): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9. \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0. \]

Сложим и упрощаем:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0, \] что приводит к: \[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10. \]

Теперь мы ищем целые решения для этого уравнения. Это уравнение представляет собой окружность с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \(\sqrt{10}\).

Найдем все целые координаты \((x - 1, y + 3)\) на окружности, у которой сумма квадратов равна 10.

Поиск целых чисел: \[ a^2 + b^2 = 10, \] где \( a = x - 1 \) и \( b = y + 3 \).

Решения для уравнения \( a^2 + b^2 = 10 \):

• \( (a, b) = (1, 3) \) и перестановки (так как порядок неважен):
• \( (1, -3) \)
• \( (3, 1) \)
• \( (3, -1) \)
• \( (0, \pm 3) \)
• \( (±1, ±3) \)
• \( (±3, ±1) \)

Это даёт нам следующие пары:

• \( (1, 3) \) или \((1, -3)\),
• \( (3, 1) \) или \( (3, -1) \),
• \( (0, 3)\) или \( (0, -3)\),
• \( (-1, \pm 3) \),
• \( (-3, ±1) \).

Теперь преобразуем их назад в \( x \) и \( y \):

1. \( (1, 3) \Rightarrow (2, 0) \)
2. \( (1, -3) \Rightarrow (2, -6) \)
3. \( (3, 1) \Rightarrow (4, -2) \)
4. \( (3, -1) \Rightarrow (4, -4) \)
5. \( (0, 3) \Rightarrow (1, 0) \)
6. \( (0, -3) \Rightarrow (1, -6) \)
7. \( (-1, 3) \Rightarrow (0, 0) \)
8. \( (-1, -3) \Rightarrow (0, -6) \)
9. \( (-3, 1) \Rightarrow (-2, -2) \)
10. \( (-3, -1) \Rightarrow (-2, -4) \)

Теперь давайте выразим \( x - y \) для каждой пары:

1. \( (2, 0) \Rightarrow 2 - 0 = 2 \)
2. \( (2, -6) \Rightarrow 2 + 6 = 8 \)
3. \( (4, -2) \Rightarrow 4 + 2 = 6 \)
4. \( (4, -4) \Rightarrow 4 + 4 = 8 \)
5. \( (1, 0) \Rightarrow 1 - 0 = 1 \)
6. \( (1, -6) \Rightarrow 1 + 6 = 7 \)
7. \( (0, 0) \Rightarrow 0 - 0 = 0 \)
8. \( (0, -6) \Rightarrow 0 + 6 = 6 \)
9. \( (-2, -2) \Rightarrow -2 + 2 = 0 \)
10. \( (-2, -4) \Rightarrow -2 + 4 = 2 \)

Наибольшее значение выражения \( x - y \) равно \( 8 \).

Итак, ответ: 8.