Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша - фантики, но в какой- то момент они поменялись. Даша и фантики, и бантики делала в 4 раза быстрее Маши. Бантиков они изготовили поровну, а фантиков вместе изготовили 850 штук. Сколько фантиков изготовила Маша?

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Обозначим количество бантиков, которые сделали Маша и Даша, как \( B \). Поскольку бантики были изготовлены поровну, мы можем записать:

\[ B_M = B_D = B \]

Маша делает бантики с некоторой скоростью \( v_M \), а Даша — с \( v_D = 4v_M \). Предположим, что они начали делать свои изделия одновременно. Пусть \( t_1 \) — это время, в течение которого Маша делала бантики, и \( t_2 \) — время, в течение которого они работали одновременно, после того как они обменялись задачами.

Во время \( t_1 \) Маша сделала:

\[ B = v_M \cdot t_1 \]

В тот же период Даша сделала:

\[ \text{Фантики Даши} = v_D \cdot t_1 = 4v_M \cdot t_1 \]

Затем они поменялись. После этого каждый продолжал работать в течение времени \( t_2 \). За это время Даша делала бантики, а Маша – фантики. Когда Даша делает бантики, она делает их со скоростью \( v_D \) и производит:

\[ \text{Бантики Даши за время } t_2 = v_D \cdot t_2 = 4v_M \cdot t_2 \]

А Маша в это время производит фантики:

\[ \text{Фантики Маши за время } t_2 = v_M \cdot t_2 \]

Теперь у нас есть общее количество фантиков, которые изготовили обе:

\[ \text{Общее количество фантиков} = 4v_M \cdot t_1 + v_M \cdot t_2 = 850 \]

Сейчас у нас есть два уравнения:

1. \( B = v_M \cdot t_1 \)
2. \( 4v_M \cdot t_1 + v_M \cdot t_2 = 850 \)

Если мы выразим \( t_1 \) через \( B \):

\[ t_1 = \frac{B}{v_M} \]

Тогда подставляем в уравнение для фантиков:

\[ 4v_M \cdot \frac{B}{v_M} + v_M \cdot t_2 = 850 \]

Это упростится до:

\[ 4B + v_M \cdot t_2 = 850 \]

Учитывая, что Даша и Маша сделали одинаковое количество бантиков:

\[ B = 4t_2 \]

Теперь мы можем записать систему уравнений и решить её.

Из первого уравнения мы нашли \( B \): Пусть \( B = 4x \):

Считаем \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ 4(4x) + (v_M(4x)) = 850 \]

После упрощения и решения мы можем найти, что:

1. \( B = 100 \)
2. Маша сделала \( v_M \cdot (t_1 + t_2) = 850 - 400 = 450 \).

Следовательно, Маша изготовила \( 450 - 100\), соответствующее количество фантиков.

Итак, Маша изготовила 200 фантиков.