сколько существует пар натуральных чисел (x, y), что 3x+4y=100?
Для решения задачи о нахождении пар натуральных чисел (x, y), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), начнем с того, что мы можем выразить \(y\) через \(x\):
\[ 4y = 100 - 3x \implies y = \frac{100 - 3x}{4} \]
Чтобы \(y\) было натуральным числом, необходимо, чтобы \(100 - 3x\) было делится на 4. Рассмотрим выражение \(100 - 3x\) по модулю 4:
\[ 100 \mod 4 = 0 \quad \text{(так как 100 делится на 4)} \] \[ 3x \mod 4 \quad \text{(теперь выясним, как 3x ведет себя по модулю 4)} \]
Обратите внимание на значения \(3x \mod 4\):
- Если \(x \equiv 0 \mod 4\), то \(3x \equiv 0 \mod 4\).
- Если \(x \equiv 1 \mod 4\), то \(3x \equiv 3 \mod 4\).
- Если \(x \equiv 2 \mod 4\), то \(3x \equiv 2 \mod 4\).
- Если \(x \equiv 3 \mod 4\), то \(3x \equiv 1 \mod 4\).
Таким образом, чтобы \(100 - 3x \equiv 0 \mod 4\), должно соблюдаться равенство: \[ 3x \equiv 0 \mod 4 \]
Это выполняется, когда \(x\) делится на 4. Запишем \(x\) в виде:
\[ x = 4k, \quad k \in \mathbb{N} \]
Теперь подставим это в изначальное уравнение:
\[ 3(4k) + 4y = 100 \] \[ 12k + 4y = 100 \] \[ 4y = 100 - 12k \implies y = 25 - 3k \]
Теперь нам нужно, чтобы \(y\) было натуральным числом, то есть \(y > 0\):
\[ 25 - 3k > 0 \implies 25 > 3k \implies k < \frac{25}{3} \approx 8.33 \]
Так как \(k\) — натуральное число, он может принимать значения от 1 до 8 (включительно). Это означает, что \(k\) может принимать 8 возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
Таким образом, существует 8 пар натуральных чисел \((x, y)\), таких что \(3x + 4y = 100\).
