Сколько различных решений имеет система уравнений (x + y)(x - 3y +1)(x - y) = 0, (2y - x - 1)(x + y - 4)y = 0?

Для решения системы уравнений

\[ (x + y)(x - 3y + 1)(x - y) = 0, \] \[ (2y - x - 1)(x + y - 4)y = 0, \]

необходимо рассмотреть каждое из уравнений по отдельности, так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Первое уравнение: \[ (x + y) = 0 \quad \text{или} \quad (x - 3y + 1) = 0 \quad \text{или} \quad (x - y) = 0. \]

• Из \(x + y = 0\) получаем \(x = -y\).
• Из \(x - 3y + 1 = 0\) получаем \(x = 3y - 1\).
• Из \(x - y = 0\) получаем \(x = y\).

2. Второе уравнение: \[ (2y - x - 1) = 0 \quad \text{или} \quad (x + y - 4) = 0 \quad \text{или} \quad y = 0. \]

• Из \(2y - x - 1 = 0\) получаем \(x = 2y - 1\).
• Из \(x + y - 4 = 0\) получаем \(x = 4 - y\).
• Из \(y = 0\) получаем \(x\) произвольное (хотя бы это прямое с нулём).

Теперь мы можем найти пересечения этих решений.

1. Решение \(y = 0\):

   • Подставим в первое уравнение: \(x + 0 = 0 \Rightarrow x = 0\).
   • Таким образом, одно решение: \((0, 0)\).

2. Решение \(x = y\):

   • Подставим \(x = y\) во второе уравнение: \(2y - y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow x = 1\).
   • Таким образом, второе решение: \((1, 1)\).

3. Решение \(x = 4 - y\):

   • Подставим \(x = 4 - y\) в \(x = 3y - 1\): \(4 - y = 3y - 1 \Rightarrow 4 + 1 = 3y + y \Rightarrow 5 = 4y \Rightarrow y = \frac{5}{4}, x = 4 - \frac{5}{4} = \frac{11}{4}\).
   • Таким образом, третье решение: \(\left(\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\right)\).

4. Решение \(x = -y\):

   • Подставим \(x = -y\) в \(x = 2y - 1\): \(-y = 2y - 1 \Rightarrow -y - 2y = -1 \Rightarrow -3y = -1 \Rightarrow y = \frac{1}{3}, x = -\frac{1}{3}\).
   • Таким образом, четвёртое решение: \(\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\).

Теперь соберем все найденные решения:

1. \((0, 0)\)
2. \((1, 1)\)
3. \(\left(\frac{11}{4}, \frac{5}{4}\right)\)
4. \(\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\)

Таким образом, система уравнений имеет четыре различных решения.