Решите неравенство 4/х <= 4-х . В ответ запишите сумму целых решений неравенство принадлежащих промежутку [-6;6]
Для решения неравенства \( \frac{4}{x} \leq 4 - x \), давайте сначала преобразуем его в более удобный вид.
Умножим обе стороны неравенства на \( x \). Важно помнить, что умножение на положительное число не меняет знак неравенства, а на отрицательное — меняет. Поэтому мы будем рассматривать два случая: \( x > 0 \) и \( x < 0 \).
Случай 1: \( x > 0 \)
Умножив на \( x \) (поскольку \( x > 0 \)), получаем: \[ 4 \leq (4 - x)x \quad \Rightarrow \quad 4 \leq 4x - x^2 \] Приведем все к одной стороне: \[ x^2 - 4x + 4 \leq 0 \] Это можно записать как: \[ (x - 2)^2 \leq 0 \] Следовательно, \( (x - 2)^2 = 0 \), что дает: \[ x = 2 \]
Случай 2: \( x < 0 \)
Умножая на \( x \) (поскольку \( x < 0 \), знак неравенства изменится): \[ 4 \geq (4 - x)x \quad \Rightarrow \quad 4 \geq 4x - x^2 \] Приведем все к одной стороне: \[ x^2 - 4x + 4 \geq 0 \] Как видно, это квадратное неравенство. Дискриминант равен: \[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \] Корни квадратного уравнения равны: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 \]
Поскольку \( (x - 2)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), для \( x < 0 \) неравенство соблюдается для всех \( x \).
Таким образом, подытоживая оба случая:
- Для \( x > 0 \) мы получили решение \( x = 2 \).
- Для \( x < 0 \) все значения \( x < 0 \) удовлетворяют неравенству.
Теперь посмотрим на промежуток \( [-6; 6] \):
- Из отрицательных целых чисел в интервале \( [-6; 0) \): \( -6, -5, -4, -3, -2, -1 \).
- Положительное решение \( x = 2 \).
Таким образом, целые решения неравенства в промежутке \( [-6; 6] \): \( -6, -5, -4, -3, -2, -1, 2 \).
Теперь найдем сумму целых решений: \[ -6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 2 = -19 + 2 = -17. \]
Итак, сумма целых решений неравенства, принадлежащих промежутку \( [-6; 6] \), составляет \( -17 \).
