1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 51 см. Найти длину гипотенузы.
2. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45, гипотенуза 24 см. Найти медиану, проведенную к гипотенузе.
3. В прямоугольном треугольнике ABC (LC=90°) биссектрисы СК и AF пересекаются в точке О. Величина угла АОС равна 125°. Найти больший острый угол треугольника АВС.
4. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 65. Найти острые углы этого треугольника.
Давайте по порядку разберём все ваши вопросы:
1. **Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 51 см. Найти длину гипотенузы.**
Обозначим гипотенузу \( c \), меньший катет \( a \) и больший катет \( b \). В данном случае угол \( A = 60° \), что означает, что:
\[
\frac{a}{c} = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Отсюда:
\[
a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
Так как также известна сумма гипотенузы и меньшего катета:
\[
c + a = 51
\]
Подставим выражение для \( a \):
\[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 51
\]
\[
c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 51
\]
Теперь решим это уравнение:
\[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 51
\]
\[
c = \frac{51 \cdot 2}{2 + \sqrt{3}} = \frac{102}{2 + \sqrt{3}}
\]
Для более удобного значения можно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое число:
\[
c = \frac{102(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{102(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 102(2 - \sqrt{3})
\]
Приблизительно, вычисляя значение, получаем длину гипотенузы.
2. **В прямоугольном треугольнике один из углов равен 45°, гипотенуза 24 см. Найти медиану, проведённую к гипотенузе.**
Так как треугольник прямоугольный с углом 45°, он является равнобедренным.
Обозначим длину катетов \( a \).
В прямоугольном треугольнике выполняется:
\[
a = \frac{c}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}
\]
Длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна:
\[
m = \frac{c}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{24}{2} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{2}
\]
3. **В прямоугольном треугольнике ABC (LC=90°) биссектрисы СК и AF пересекаются в точке O. Величина угла АОС равна 125°. Найти больший острый угол треугольника АВС.**
В данном случае, поскольку \( A \) и \( C \) - острые углы, \( O \) - биссектрисы, у нас:
\[
\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 180°
\]
Если \( \angle AOC = 125° \), то:
\[
\angle AOB + \angle BOC = 180° - 125° = 55°
\]
Так как \( A \) и \( B \) - острые углы, больший острый угол будет равен \( \frac{55°}{2} \).
Следовательно, больший острый угол треугольника ABC равен \( 27.5° \).
4. **Биссектрисса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 65°. Найти острые углы этого треугольника.**
Обозначим углы \( A \) и \( B \) в прямоугольном треугольнике как \( A \) и \( B \). Если биссектрисса делит угол \( C = 90° \), то:
\[
\angle A + \angle B = 90°
\]
Один из углов, образованных биссектрисой с гипотенузой, равен 65°, что соответствует углу \( A \). Соответственно, угол \( B \) равен:
\[
B = 90° - A = 90° - 65° = 25°
\]
Таким образом, острые углы треугольника равны 65° и 25°.
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить какие-то моменты, дайте знать!
