У старого художника в студии было несколько учеников. Известно, что возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников и на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе. Сколько учеников у старого художника?
Чтобы определить количество учеников у старого художника, давайте обозначим:
- \(A\) — возраст художника,
- \(n\) — количество учеников,
- \(M\) — средний возраст учеников.
Из условия задачи у нас есть две основные информации:
Возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников: \[ A = M + 50 \]
Возраст художника на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе: \[ A = \frac{A + nM}{n + 1} + 40 \]
Теперь подставим первое уравнение во второе. Для начала, выразим \(M\) из первого уравнения: \[ M = A - 50 \]
Теперь подставим это значение в второе уравнение: \[ A = \frac{A + n(A - 50)}{n + 1} + 40 \]
Упростим правую часть уравнения: \[ A = \frac{A + nA - 50n}{n + 1} + 40 \] \[ A(n + 1) = A + nA - 50n + 40(n + 1) \] \[ An + A = A + nA - 50n + 40n + 40 \]
Упрощая, мы можем сократить \(A\) с обеих сторон: \[ An = nA - 10n + 40 \]
Перепишем уравнение и вынесем \(nA\) за скобки: \[ An - nA = -10n + 40 \] \[ 0 = -10n + 40 \]
Теперь решим это уравнение: \[ 10n = 40 \] \[ n = 4 \]
Таким образом, у старого художника 4 ученика.
