Решите в натуральных числах уравнение м в квадрате равно 55 + н в квадрате в ответе, запишите сумму полученных значений м.

Для решения уравнения \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнём с того, что нам нужно выразить \( m \) через \( n \):

\[ m^2 - n^2 = 55 \]

Данное уравнение можно переписать как разность квадратов:

\[ (m - n)(m + n) = 55 \]

Теперь мы найдём такие пары чисел \( (m - n) \) и \( (m + n) \), которые в произведении дают 55. Разобьём 55 на множители:

• \( 1 \times 55 \)
• \( 5 \times 11 \)

Рассмотрим каждую из пар:

1. Для \( m - n = 1 \) и \( m + n = 55 \):

   Из этого мы можем выразить: \[ m - n = 1 \implies m = n + 1 \] И: \[ m + n = 55 \implies (n + 1) + n = 55 \implies 2n + 1 = 55 \implies 2n = 54 \implies n = 27 \] Теперь подставим \( n = 27 \) в формулу для \( m \): \[ m = 27 + 1 = 28 \]

2. Для \( m - n = 5 \) и \( m + n = 11 \):

   Аналогично получим: \[ m - n = 5 \implies m = n + 5 \] И: \[ m + n = 11 \implies (n + 5) + n = 11 \implies 2n + 5 = 11 \implies 2n = 6 \implies n = 3 \] И тогда: \[ m = 3 + 5 = 8 \]

Теперь у нас есть два решения в натуральных числах:

1. \( (m, n) = (28, 27) \)
2. \( (m, n) = (8, 3) \)

Теперь найдем сумму всех полученных значений \( m \): \[ 28 + 8 = 36 \]

Итак, сумма полученных значений \( m \) равна 36.