Монету бросают 5 раз. Какова ве- роятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?
Чтобы определить вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, можно использовать биномиальное распределение. Формула для вычисления вероятности в биномиальном распределении выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт ровно \( k \) раз;
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 5);
- \( k \) — количество успешных исходов (в нашем случае 4);
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (вероятность выпадения орла, равная 0.5);
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается по формуле \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Теперь подставим значения в формулу:
Определяем биномиальный коэффициент: \[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]
Подставляем в формулу:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{5 - 4} \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{1} \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^{4 + 1} \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0.5)^5 \] \[ P(X = 4) = 5 \cdot \frac{1}{32} \] \[ P(X = 4) = \frac{5}{32} \]
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, составляет \(\frac{5}{32}\) или примерно 0.15625, что эквивалентно 15.625%.
