Маша и Даша изготовляли фантики и бантики работу они начали и закончили одновременно сначала Маша делала бантики а Даша фантики но в какой-то момент они поменялись Даша и фантики и бантики делала в 4 раза быстрее Маши бантиков они изготовили поровну а фантиков вместе изготовили 850 штук сколько фантиков изготовила Маша

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные.

Пусть:

• \( x \) — количество бантиков, которые изготовила Маша.
• \( y \) — количество фантиков, которые изготовила Маша.
• Время, необходимое Маше для изготовления одного бантика, будет равно \( t \).
• Тогда время, необходимое Даше для изготовления одного бантика, будет \( \frac{t}{4} \), так как Даша работает в 4 раза быстрее.

Таким образом, для изготовления \( x \) бантиков Маше потребуется \( x \cdot t \) времени. Для изготовления такого же количества бантиков Даше потребуется \( x \cdot \frac{t}{4} = \frac{x \cdot t}{4} \) времени.

После того как они изготовили поровну бантиков, они поменялись задачами. Теперь Даша начинает производить фантики, а Маша — бантики.

Пусть общее время работы равно \( T \). Мы можем считать, что Даша работала \( T - \frac{x \cdot t}{4} \), а Маша работала \( T - x \cdot t \).

Теперь давайте посчитаем, сколько она успела изготовить фантиков. Поскольку Даша изготавливает фантики в \( 4 \) раза быстрее, то её производительность составляет \( \frac{1}{t/4} = \frac{4}{t} \) фантиков в единицу времени. Маша же изготавливает фантики со своей скоростью \( \frac{1}{t} \).

Объединив эти идеи, когда они поменялись работой, можно записать следующие уравнения:

Тогда, пока Даша делает фантики, она изготовит: \[ \frac{4}{t} (T - \frac{x \cdot t}{4}) \] А Маша будет делать бантики: \[ \frac{1}{t} (T - x \cdot t) \]

Сложим количество фантиков, которые они сделали вместе: \[ 850 = 4 \cdot \frac{T - \frac{x \cdot t}{4}}{t} + \frac{T - x \cdot t}{t} \]

Т.к. мы знаем, что фантики были изготовлены обеими, а всего их 850, если мы обозначим количество фантиков, которые сделает Маша как \( y \), то получаем выражение.

Теперь мы знаем, что Маша изготовила \( y = 850 - \frac{4y}{4} \)

Итак, из всех фантиков, мы можем выразить \( y \) как: \[ y + 4y = 850 \]

Таким образом: \[ 5y = 850 \]

Отсюда получаем: \[ y = \frac{850}{5} = 170 \]

Таким образом, Маша изготовила 170 фантиков.