решите уравнение x² + y² -2x + 6y = 0 в целых числах. в ответе укажите наибольшее значение выражения x -3y

Для решения уравнения \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, начнем с его преобразования. Перепишем уравнение, сгруппировав его по переменным \( x \) и \( y \):

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь мы попытаемся завершить квадрат для \( x \) и \( y \).

1. Для \( x^2 - 2x \) у нас получится: \[ x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \]

2. Для \( y^2 + 6y \) у нас получится: \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\[ ((x - 1)^2 - 1) + ((y + 3)^2 - 9) = 0 \]

Упростим уравнение:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]

Эта форма показывает, что:

\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]

Это уравнение описывает круг с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Чтобы найти целые решения, нам нужно найти такие пары \( (x, y) \), которые удовлетворяют этому уравнению.

Рассмотрим возможные значения квадратов, которые суммируются в 10:

• \( 0^2 + 3^2 = 0 + 9 \)
• \( 1^2 + 3^2 = 1 + 9 \)
• \( 1^2 + 2^2 = 1 + 4 \)
• \( 3^2 + 1^2 = 9 + 1 \)
• \( 0^2 + 2^2 = 0 + 4 \)

Мы можем перебрать значения для \( (x - 1)^2 \) и \( (y + 3)^2 \):

1. \( (x - 1)^2 = 0 \), тогда \( (y + 3)^2 = 10 \) \( \Rightarrow y + 3 = \pm \sqrt{10} \) - не целое число.
2. \( (x - 1)^2 = 1 \), тогда \( (y + 3)^2 = 9 \):
   • \( x = 2 \Rightarrow y + 3 = 3 \Rightarrow y = 0 \)
   • \( x = 0 \Rightarrow y + 3 = 3 \Rightarrow y = 0 \) (но это значение совпадает)
3. \( (x - 1)^2 = 4 \), тогда \( (y + 3)^2 = 6 \) \( \Rightarrow y + 3 = \pm \sqrt{6} \) - не целое число.
4. \( (x - 1)^2 = 9 \), тогда \( (y + 3)^2 = 1 \):
   • \( x = 4 \Rightarrow y + 3 = 1 \Rightarrow y = -2 \)
   • \( x = -2 \Rightarrow y + 3 = 1 \Rightarrow y = -2 \) (но это значение совпадает)

Итак, мы получили целые решения:

1. \( (2, 0) \)
2. \( (4, -2) \)

Теперь нам нужно найти максимальное значение выражения \( x - 3y \):

1. Для \( (2, 0) \): \[ x - 3y = 2 - 3 \cdot 0 = 2 \]

2. Для \( (4, -2) \): \[ x - 3y = 4 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10 \]

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно:

\[ \boxed{10} \]