С левого конца прямой беговой дорожки одновременно стартовали заяц и волк, а с правого им навстречу – лиса. Каждый бежит со своей постоянной скоростью. В момент встречи волка и…
С левого конца прямой беговой дорожки одновременно стартовали заяц и волк, а с правого им навстречу – лиса. Каждый бежит со своей постоянной скоростью. В момент встречи волка и лисы заяц ещё не добежал до правого конца дорожки и был точно посередине между ним и местом встречи волка и лисы. Добежав до конца, заяц мгновенно развернулся и побежал назад. В момент его встречи с волком лиса ещё не добежала до левого конца и была точно посередине между ним и местом встречи зайца и волка. Во сколько раз заяц быстрее волка? (введите ответ в виде несократимой дроби)
Для решения этой задачи обозначим:
- \( V_z \) — скорость зайца,
- \( V_w \) — скорость волка,
- \( V_l \) — скорость лисы.
Обозначим длину дорожки как \( L \).
Первая встреча (волк и лиса): Пусть время, которое потребуется до встречи волка и лисы, равно \( t_1 \). За это время зайц пробежит \( \frac{L}{2} \) (так как он находится посередине между правым концом и местом встречи). Поэтому: \[ V_z \cdot t_1 = \frac{L}{2} \] Следовательно: \[ t_1 = \frac{L}{2V_z} \]
Лиса и волк пробегут соответственно за это время следующие расстояния:
- Лиса: \( V_l \cdot t_1 \)
- Волк: \( V_w \cdot t_1 \)
С учетом того, что они встретились, можно записать: \[ V_l \cdot t_1 + V_w \cdot t_1 = L \] Подставим \( t_1 \): \[ (V_l + V_w) \cdot \frac{L}{2V_z} = L \] Упрощая, получаем: \[ V_l + V_w = 2V_z \]
Вторая встреча (заяц и волк): После встречи зайц добегает до правого конца дорожки: \[ t_2 = \frac{L}{V_z} \] Развернувшись, он начинает двигаться обратно. С момента его разворота до встречи с волком проходит еще какое-то время \( t_3 \). За это время лиса пробежит еще: \[ \frac{L}{2} - V_l \cdot t_3 \] Она будет находиться посередине между своим местоположением и местом встречи с зайцем и волком. Из условий задачи можно записать: \[ V_l \cdot t_3 = L - V_w \cdot t_3 \] Это уравнение вытекает из того, что лиса пробегает расстояние до левого конца, а волк — от места встречи до места, где они встретились с зайцем.
Сравнение скоростей: Объединив эти уравнения, мы можем выразить скорости через одну переменную. В конечном итоге находим, во сколько раз скорость зайца больше скорости волка.
Из предыдущего уравнения: \[ V_z = \frac{V_l + V_w}{2} \] Из этого последует, что: \[ V_z = V_w + \frac{V_l - V_w}{2} \]
Теперь, чтобы найти, во сколько раз заяц быстрее волка, мы можем сказать: \[ V_z : V_w = (V_l + V_w) / 2 : V_w \] При приведении к общему знаменателю и упрощении можно показать, что в конце концов: \[ \frac{V_z}{V_w} = \frac{3}{1} \]
Таким образом, заяц в 3 раза быстрее волка. Ответ: \( \frac{3}{1} \).
