Найдите трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то получится число,…
Найдите трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке
Давайте обозначим трёхзначное число как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — это соответственно сотни, десятки и единицы. Сначала запишем условия, которым должно удовлетворять это число:
Сумма цифр: \[ a + b + c = 15 \]
Сумма квадратов цифр: \[ a^2 + b^2 + c^2 = 89 \]
Если из числа \(abc\) (или \(100a + 10b + c\)) вычесть 99, мы получим число \(cba\) (или \(100c + 10b + a\)): \[ (100a + 10b + c) - 99 = 100c + 10b + a \] Это упрощается до: \[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \] После упрощения получаем: \[ 99a - 99c = 99 \implies a - c = 1 \implies a = c + 1 \]
Теперь у нас есть три уравнения:
- \(a + b + c = 15\)
- \(a^2 + b^2 + c^2 = 89\)
- \(a = c + 1\)
Подставим \(a = c + 1\) в первое уравнение: \[ (c + 1) + b + c = 15 \implies 2c + b + 1 = 15 \implies 2c + b = 14 \implies b = 14 - 2c \]
Теперь подставим \(a\) и \(b\) в уравнение суммы квадратов: \[ (c + 1)^2 + (14 - 2c)^2 + c^2 = 89 \] Раскроем скобки: \[ (c^2 + 2c + 1) + (196 - 56c + 4c^2) + c^2 = 89 \] Соберем все в одной стороне: \[ 6c^2 - 54c + 196 + 1 - 89 = 0 \implies 6c^2 - 54c + 108 = 0 \implies c^2 - 9c + 18 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \] Находим корни: \[ c = \frac{9 \pm 3}{2} \] Соответственно: \[ c_1 = \frac{12}{2} = 6 \quad \text{и} \quad c_2 = \frac{6}{2} = 3 \]
Теперь найдем \(a\) и \(b\) для обоих случаев:
Если \(c = 6\): \[ a = c + 1 = 7 \] \[ b = 14 - 2c = 14 - 12 = 2 \] Получаем число \(726\).
Если \(c = 3\): \[ a = c + 1 = 4 \] \[ b = 14 - 2c = 14 - 6 = 8 \] Получаем число \(483\).
Теперь проверим оба числа на удовлетворение всем условиям.
Для числа 726:
- \(7 + 2 + 6 = 15\) (верно)
- \(7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89\) (верно)
- \(726 - 99 = 627\) (это число с цифрами в обратном порядке) (верно)
Для числа 483:
- \(4 + 8 + 3 = 15\) (верно)
- \(4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89\) (верно)
- \(483 - 99 = 384\) (это число с цифрами в обратном порядке) (верно)
Таким образом, оба числа удовлетворяют условиям, но задача просит найти одно число, и мы можем выбрать любое из них. Ответ: 726 и 483.
