Решите в натуральных числах уравнение m^2=55+n^2 в ответе запишите сумму полученных значений m

Чтобы решить уравнение \( m^2 = 55 + n^2 \) в натуральных числах, начнем с его преобразования:

1. Перепишем уравнение в более удобной форме: \[ m^2 - n^2 = 55 \]

2. Заметим, что \( m^2 - n^2 \) можно представить как разность квадратов: \[ (m - n)(m + n) = 55 \]

3. Теперь найдем все парные множители числа 55. Множители 55: \( 1, 5, 11, 55 \).

   Это дает нам следующие пары \( (m - n) \) и \( (m + n) \):

   • \( 1 \times 55 \)
   • \( 5 \times 11 \)

4. Рассмотрим первую пару \( (1, 55) \): \[ m - n = 1 \\ m + n = 55 \]

   Сложив эти два уравнения, получаем: \[ 2m = 56 \implies m = 28 \\ 2n = 54 \implies n = 27 \] Таким образом, одна пара решений: \( (m, n) = (28, 27) \).

5. Теперь рассмотрим вторую пару \( (5, 11) \): \[ m - n = 5 \\ m + n = 11 \]

   Сложив эти два уравнения, получаем: \[ 2m = 16 \implies m = 8 \\ 2n = 6 \implies n = 3 \] Таким образом, вторая пара решений: \( (m, n) = (8, 3) \).

6. Теперь у нас есть два значения для \( m \): \( 28 \) и \( 8 \).

7. Сумма полученных значений \( m \): \[ 28 + 8 = 36 \]

Ответ: сумма полученных значений \( m \) равна \( 36 \).