Решите уравнение х^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - 3у.
Давайте сначала перепишем уравнение \(x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0\) в более удобной форме. Мы можем сгруппировать члены и сделать полный квадрат:
\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]
Для \(x\) мы можем добавить и вычесть 1:
\[ (x - 1)^2 - 1 + y^2 + 6y = 0 \]
Теперь для \(y\) мы можем дополнить квадрат. Для \(y^2 + 6y\):
\[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \]
Теперь подставим это в уравнение:
\[ (x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0 \]
Упростим это:
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0 \]
Теперь у нас есть:
\[ (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10 \]
Это уравнение окружности с центром в точке \((1, -3)\) и радиусом \(\sqrt{10}\). В данном случае мы ищем целые координаты \((x, y)\), которые удовлетворяют этому уравнению.
Мы знаем, что \(10\) можно представить как сумму квадратов:
\[ 10 = 0^2 + 10^2, \quad 1^2 + 3^2, \quad 3^2 + 1^2, \quad \sqrt{2^2 + 2^2} \text{ и так далее.} \]
Рассмотрим целые решения:
- \((x - 1, y + 3) = (3, 1)\) → \(x = 4, y = -2\)
- \((x - 1, y + 3) = (1, 3)\) → \(x = 2, y = 0\)
- \((x - 1, y + 3) = (-1, 3)\) → \(x = 0, y = 0\)
- \((x - 1, y + 3) = (-3, 1)\) → \(x = -2, y = -2\)
Теперь подставим эти значения в выражение \(x - 3y\):
- Для \((4, -2)\): \(4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10\)
- Для \((2, 0)\): \(2 - 3(0) = 2\)
- Для \((0, 0)\): \(0 - 3(0) = 0\)
- Для \((-2, -2)\): \(-2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4\)
Наибольшее значение выражения \(x - 3y\) равно \(10\).
Таким образом, ответ:
\[ \boxed{10} \]
