Когда лиса откусила у двух медвежат по одинаковому кусочку сыра, у первого медвежонка осталось в 9 раз меньше сыра, чем у второго. После этого лиса снова откусила у каждого…

Давайте обозначим количество сыра, которое было у первого медвежонка, как \( x \), а у второго — как \( y \).

После того, как лиса откусила по кусочку сыра, у первого медвежонка осталось \( x - a \), а у второго — \( y - a \), где \( a \) — размер откушенного кусочка.

Сначала нам известно, что:

\[ x - a = \frac{1}{9}(y - a) \]

Умножим обе стороны уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:

\[ 9(x - a) = y - a \]

Раскроем скобки:

\[ 9x - 9a = y - a \]

Переносим \( a \) на одну сторону и \( 9a \) на другую:

\[ 9x - y = 8a \quad (1) \]

После второго укуса у первого медвежонка осталось \( x - 2a \), а у второго — \( y - 2a \).

Теперь у нас есть второе уравнение:

\[ x - 2a = \frac{1}{13}(y - 2a) \]

Умножим обе стороны на 13:

\[ 13(x - 2a) = y - 2a \]

Раскроем скобки:

\[ 13x - 26a = y - 2a \]

Переносим \( 2a \) на одну сторону:

\[ 13x - y = 24a \quad (2) \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( 9x - y = 8a \)
2. \( 13x - y = 24a \)

Выразим \( y \) из первого уравнения:

\[ y = 9x - 8a \quad (3) \]

Подставим (3) во второе уравнение:

\[ 13x - (9x - 8a) = 24a \]

Упрощаем:

\[ 13x - 9x + 8a = 24a \]

Это приводит к:

\[ 4x = 16a \]

Отсюда \( x = 4a \).

Теперь подставим \( x = 4a \) в (3) для нахождения \( y \):

\[ y = 9(4a) - 8a = 36a - 8a = 28a \]

Теперь мы знаем, что изначально у первого медвежонка было \( x = 4a \), а у второго — \( y = 28a \).

Итак, теперь мы можем найти, во сколько раз меньше сыра было у первого медвежонка, чем у второго:

\[ \frac{y}{x} = \frac{28a}{4a} = 7 \]

Таким образом, у первого медвежонка было в 7 раз меньше сыра, чем у второго, до прихода лисы.