Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и…

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим скорость работы Маши как \( v \) (количество штук, которые она делает за единицу времени), тогда скорость работы Даши будет \( 4v \) (так как она работает в 4 раза быстрее Маши).

Пусть \( t_1 \) — это время, которое Маша работала над бантиками, а \( t_2 \) — время, которое Даша работала над фантиками. Когда они поменялись, Даша начала делать бантики, а Маша — фантики.

1. Маша делает бантики: За время \( t_1 \) она сделает \( v \cdot t_1 \) бантиков.
2. Даша делает фантики: За то же время \( t_1 \) она сделает \( 4v \cdot t_1 \) фантиков.

Когда они поменялись:

• Теперь Маша делает фантики, а Даша — бантики.
• Пусть они поменялись на время \( t_2 \).

Теперь рассмотрим, сколько фантиков они сделали вместе:

• Даша делает бантики за \( t_2 \): \( 4v \cdot t_2 \) (бантиков).
• Маша делает фантики за \( t_2 \): \( v \cdot t_2 \) (фантиков).

Согласно условию, количество сделанных бантиков равно количеству сделанных фантиков. Значит, мы можем записать уравнение:

\[ v \cdot t_1 + 4v \cdot t_2 = 4v \cdot t_1 + v \cdot t_2 \]

Теперь упростим его, разделив все на \( v \) (предполагая, что \( v \) не равно нулю):

\[ t_1 + 4t_2 = 4t_1 + t_2 \]

Упрощаем это уравнение:

\[ 3t_2 = 3t_1 \] \[ t_2 = t_1 \]

Теперь мы знаем, что \( t_1 = t_2 \).

Теперь соберем всю информацию о фантиках. Общее количество фантиков составляет 850 штук. При этом:

• Фантики, сделанные Дашей, составляют \( 4v \cdot t_1 \).
• Фантики, сделанные Машей, составляют \( v \cdot t_1 \).

Соответственно, у нас получается следующее уравнение:

\[ 4v \cdot t_1 + v \cdot t_1 = 850 \] \[ 5v \cdot t_1 = 850 \] \[ v \cdot t_1 = \frac{850}{5} = 170 \]

То есть Маша сделала 170 фантиков, так как Маша делает \( v \cdot t_1 \) фантиков. Таким образом, ответ на ваш вопрос:

Маша изготовила 170 фантиков.