Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и…
Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и фантики, и бантики делала в 4 раза быстрее Маши. Бантиков они изготовили поровну, а фантиков вместе изготовили 850 штук. Сколько фантиков изготовила Маша?
Давайте разберем задачу поэтапно.
Обозначим скорость работы Маши при изготовлении бантиков как \( v \) (бантиков в единицу времени), тогда скорость работы Даши при изготовлении бантиков будет \( 4v \).
Пусть \( t_1 \) — время, в течение которого Маша изготавливала бантики, а \( t_2 \) — время, в течение которого Даша работала над бантиками, после того как они поменялись. Общее время работы у них одинаково, значит:
\[ t_1 + t_2 = T \]
Теперь давайте рассчитаем количество бантиков. Маша за время \( t_1 \) изготовила \( v \cdot t_1 \) бантиков, а Даша за \( t_2 \) изготовила \( 4v \cdot t_2 \) бантиков. Поскольку бантиков они сделали поровну, то:
\[ v \cdot t_1 = 4v \cdot t_2 \]
Убираем \( v \) из уравнения (предполагая, что \( v \neq 0 \)):
\[ t_1 = 4t_2 \]
Таким образом, мы можем выразить \( t_1 \) через \( t_2 \):
\[ t_1 = 4t_2 \]
Подставим это выражение в уравнение для общего времени:
\[ 4t_2 + t_2 = T \] \[ 5t_2 = T \] \[ t_2 = \frac{T}{5} \] \[ t_1 = 4t_2 = 4 \cdot \frac{T}{5} = \frac{4T}{5} \]
Теперь рассмотрим количество фантиков. Обозначим количество фантиков, изготовленных Машей, как \( F_m \), а количество фантиков, изготовленных Дашей, как \( F_d \).
Маша работала фантики за оставшееся время \( T - t_1 = T - \frac{4T}{5} = \frac{T}{5} \). Ее скорость составляет \( \frac{1}{4} \) от скорости Даши, поэтому:
\[ F_m = \frac{t_1}{4} \cdot \frac{T}{5} = v \cdot \frac{T}{5} \]
Даша за \( T - t_2 = T - \frac{T}{5} = \frac{4T}{5} \) производит фантики в 4 раза быстрее:
\[ F_d = 4v \cdot \frac{4T}{5} = \frac{16vT}{5} \]
Общее количество фантиков равно 850 штук:
\[ F_m + F_d = 850 \]
Подставим данные:
\[ \frac{T}{5} + \frac{16vT}{5} = 850 \]
Чтобы совместить скорость, нужно учесть, что в действительности это будет выглядеть как:
\[ v \cdot T + 4v \cdot T = 850 \] \[ 5vT = 850 \] \[ vT = \frac{850}{5} = 170 \]
Теперь мы знаем, что \( vT = 170 \).
Теперь давайте выясним, сколько фантиков изготовила Маша. Мы знаем, что:
\[ F_m = \frac{T}{5} \cdot v \]
Подставим \( vT = 170 \):
Итак:
\[ F_m = \frac{T}{5} = \frac{170}{5} = 34 \]
Итак, Маша изготовила 34 фантика.
