Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то…

Обозначим трёхзначное число как \(abc\), где \(a\), \(b\), и \(c\) — его цифры. Тогда выполняются следующие условия:

1. \(a + b + c = 15\)
2. \(a^2 + b^2 + c^2 = 89\)
3. \(abc - 99 = cba\), что можно записать как \(100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a\).

Перепишем третье условие:

\[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \]

Сократим уравнение:

\[ 100a + c - 99 = 100c + a \]

Перегруппируем термины:

\[ 99a - 99c = 99 \quad \Rightarrow \quad a - c = 1 \]

Это значит, что \(a = c + 1\). Теперь мы можем выразить \(a\) через \(c\) и подставить его в другие условия.

Из первого условия \(a + b + c = 15\):

\[ (c + 1) + b + c = 15 \quad \Rightarrow \quad 2c + b + 1 = 15 \quad \Rightarrow \quad 2c + b = 14 \quad \Rightarrow \quad b = 14 - 2c \]

Теперь подставим \(a\) и \(b\) в второе условие \(a^2 + b^2 + c^2 = 89\):

\[ (c + 1)^2 + (14 - 2c)^2 + c^2 = 89 \]

Теперь раскроем скобки:

\[ (c^2 + 2c + 1) + (196 - 56c + 4c^2) + c^2 = 89 \]

Сложим все термины:

\[ 6c^2 - 54c + 197 = 89 \]

Упростим уравнение:

\[ 6c^2 - 54c + 108 = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 - 9c + 18 = 0 \]

Теперь найдем дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]

Находим корни:

\[ c = \frac{9 \pm 3}{2} \quad \Rightarrow \quad c_1 = 6, \quad c_2 = 3 \]

Теперь подставим найденные значения \(c\):

1. Для \(c = 6\):

\[ a = 6 + 1 = 7, \quad b = 14 - 2 \cdot 6 = 2 \]

Получаем число \(726\).

2. Для \(c = 3\):

\[ a = 3 + 1 = 4, \quad b = 14 - 2 \cdot 3 = 8 \]

Получаем число \(483\).

Теперь проверим, удовлетворяют ли оба числа условиям:

Для \(726\):

• Сумма цифр: \(7 + 2 + 6 = 15\)
• Сумма квадратов цифр: \(7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89\)
• Проверим третье условие: \(726 - 99 = 627\), и 627 = 726 с реверсированными цифрами.

Для \(483\):

• Сумма цифр: \(4 + 8 + 3 = 15\)
• Сумма квадратов цифр: \(4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89\)
• Проверим третье условие: \(483 - 99 = 384\), и 384 = 483 с реверсированными цифрами.

Таким образом, наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, это \(726\).