Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то…

Решим задачу по порядку, анализируя данные условия.

Пусть трехзначное число обозначим как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) — цифры этого числа. Мы имеем следующие условия:

1. Сумма цифр: \(a + b + c = 15\)
2. Сумма квадратов цифр: \(a^2 + b^2 + c^2 = 89\)
3. Если из числа \(abc\) вычесть 99, то получится число \(cba\) (то есть записанное теми же цифрами, но в обратном порядке).

Запишем \(abc\) как \(100a + 10b + c\) и \(cba\) как \(100c + 10b + a\). Мы можем записать третье условие так:

\[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a \]

Упростим это уравнение:

\[ 100a + c - 99 = 100c + a \] \[ 99a - 99c = 99 \] \[ a - c = 1 \]

Таким образом, мы имеем \(a = c + 1\). Теперь можем подставить это значение в уравнения, связанные с суммой цифр и суммой квадратов.

Подставим \(a = c + 1\) в уравнение для суммы цифр:

\[ (c + 1) + b + c = 15 \] \[ 2c + b + 1 = 15 \] \[ 2c + b = 14 \] \[ b = 14 - 2c \quad (1) \]

Теперь подставим \(a = c + 1\) в уравнение для суммы квадратов:

\[ (c + 1)^2 + b^2 + c^2 = 89 \]

Распишем его:

\[ (c^2 + 2c + 1) + b^2 + c^2 = 89 \] \[ 2c^2 + 2c + 1 + b^2 = 89 \] \[ 2c^2 + 2c + b^2 = 88 \]

Теперь подставим выражение для \(b\) из (1):

\[ 2c^2 + 2c + (14 - 2c)^2 = 88 \]

Раскроем квадрат:

\[ 2c^2 + 2c + (196 - 56c + 4c^2) = 88 \] \[ 6c^2 - 54c + 108 = 0 \]

Разделим на 6:

\[ c^2 - 9c + 18 = 0 \]

Находим дискриминант:

\[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \]

Теперь находим корни:

\[ c = \frac{9 \pm 3}{2} = 6 \quad \text{или} \quad 3 \]

Теперь мы находим \(a\) и \(b\) для каждого значения \(c\).

1. Если \(c = 6\): \[ a = c + 1 = 7 \] \[ b = 14 - 2c = 14 - 12 = 2 \] Таким образом, число: \(726\).

2. Если \(c = 3\): \[ a = c + 1 = 4 \] \[ b = 14 - 2c = 14 - 6 = 8 \] Таким образом, число: \(483\).

Теперь проверим два числа:

• Число \(726\):

  • Сумма цифр: \(7 + 2 + 6 = 15\)
  • Сумма квадратов: \(7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89\)
  • Проверка на 99: \(726 - 99 = 627\) (обратный порядок, верно).

• Число \(483\):

  • Сумма цифр: \(4 + 8 + 3 = 15\)
  • Сумма квадратов: \(4^2 + 8^2 + 3^2 = 16 + 64 + 9 = 89\)
  • Проверка на 99: \(483 - 99 = 384\) (обратный порядок, верно).

Итак, наибольшее трехзначное число, удовлетворяющее всем условиям, это:

\[ \boxed{726} \]