Монету бросают 5 раз. Какова вероятность, что орёл выпадет ровно 4 раза?
Чтобы найти вероятность того, что при 5 бросках монеты орёл выпадет ровно 4 раза, мы можем использовать биномиальное распределение. В данном случае, нам нужно определить количество способов, которыми можно получить 4 орла из 5 бросков, а затем умножить это на вероятность получения именно такого результата.
Формула для биномиального коэффициента выглядит следующим образом:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \( n \) — общее количество бросков (в нашем случае 5),
- \( k \) — количество успехов (в нашем случае 4).
Теперь подставим значения:
\[ C(5, 4) = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = \frac{5 \cdot 4!}{4! \cdot 1} = 5 \]
Теперь, вероятность получения орла в одном броске равна \( \frac{1}{2} \) (так как на монете два варианта: орёл или решка). Таким образом, вероятность выпадения ровно 4 орлов и 1 решки (то есть 4 успешных исхода и 1 неуспеха) можно записать так:
\[ P(X = 4) = C(5, 4) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( p = \frac{1}{2} \) (вероятность выпадения орла),
- \( (1-p) = \frac{1}{2} \) (вероятность выпадения решки).
Теперь подставим все известные значения:
\[ P(X = 4) = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 5 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \]
Таким образом, вероятность того, что орёл выпадет ровно 4 раза при 5 бросках монеты, составляет \( \frac{5}{32} \) или приблизительно 0,15625.
