велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которымми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А увеличив скорость на 8 км/ч.…

Давайте подробно разберем задачу.

Обозначим скорость велосипедиста на пути из города А в город В как \( v \) км/ч. Тогда время, затраченное на этот путь, можно выразить следующим образом:

\[ t_1 = \frac{209}{v} \]

На следующий день велосипедист возвращался из города В в город А, увеличив свою скорость на 8 км/ч, то есть его скорость на обратном пути составила \( v + 8 \) км/ч. Учитывая, что он сделал остановку на 8 часов, время, затраченное на обратный путь, составит:

\[ t_2 = \frac{209}{v + 8} + 8 \]

По условию задачи, время, затраченное на обратный путь, равно времени, затраченному на путь из А в В, то есть:

\[ t_2 = t_1 \]

Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \):

\[ \frac{209}{v + 8} + 8 = \frac{209}{v} \]

Теперь решим это уравнение:

1. Умножим обе части на \( v(v + 8) \), чтобы избавиться от дробей:

\[ 209v + 8v(v + 8) = 209(v + 8) \]

2. Раскроем скобки:

\[ 209v + 8v^2 + 64v = 209v + 1672 \]

3. Упрощаем:

\[ 8v^2 + 64v = 1672 \]

4. Переносим все в одну сторону:

\[ 8v^2 + 64v - 1672 = 0 \]

5. Делим уравнение на 8:

\[ v^2 + 8v - 209 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900 \]

Находим корни уравнения:

\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm 30}{2} \]

Рассмотрим два случая:

1. \( v = \frac{22}{2} = 11 \) км/ч (положительный корень)
2. \( v = \frac{-38}{2} = -19 \) км/ч (отрицательный корень, не рассматривается)

Таким образом, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 11 км/ч.

Скорость на обратном пути из В в А составит:

\[ v + 8 = 11 + 8 = 19 \text{ км/ч}. \]

Ответ: скорость велосипедиста на пути из В в А равна 19 км/ч.