Решите уравнение х²+у²-2х+6у=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х-3у.
Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, сначала упростим его. Мы можем сгруппировать и привести уравнение к следующему виду:
Перепишем уравнение:
\( x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \).Чтобы упростить \( x^2 - 2x \), используем полный квадрат:
\( x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1 \).Сделаем то же самое с \( y^2 + 6y \):
\( y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \).
Теперь подставим эти результаты в уравнение:
\[
(x - 1)^2 - 1 + (y + 3)^2 - 9 = 0.
\]
Упростим:
\[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 - 10 = 0.
\]
Это эквивалентно:
\[
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 10.
\]
Мы видим, что это уравнение окружности радиуса \( \sqrt{10} \) с центром в точке \( (1, -3) \).
Чтобы найти целочисленные решения, необходимо, чтобы сумма квадратов двух целых чисел была равна 10. Рассмотрим пары целых чисел \((a, b)\), такие что \( a^2 + b^2 = 10\):
- \( a = 0, b = \pm 3 \) (пары: \( (1, 0) \) и \( (1, -6) \)),
- \( a = \pm 3, b = \pm 1 \) (пары: \( (4, -2) \) и \( (-2, -2) \)),
- \( a = \pm 1, b = \pm 3 \) (пары: \( (2, -3) \) и \( (0, -3) \)),
- \( a = 1, b = \pm 3 \) (пары: \( (2, 0) \) и \( (0, -6) \)).
Также, давайте рассмотрим возможные решения:
- \( (1, -3) \),
- \( (4, -5) \),
- \( (-2, -3) \),
- \( (1, 0) \),
- \( (4, -5) \).
Теперь найдем значение выражения \( x - 3y \) для каждого целого решения:
- Для \( (1, -3) \): \( 1 - 3(-3) = 1 + 9 = 10 \),
- Для \( (4, -5) \): \( 4 - 3(-5) = 4 + 15 = 19 \),
- Для \( (-2, -3) \): \( -2 - 3(-3) = -2 + 9 = 7 \).
Наибольшее значение \( x - 3y \) встречается при \( (4, -5) \) и равно 19.
Итак, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 19 \).
