Стороны прямоугольника измеряются целым числом сантиметров. Одно из его измерений увеличили на 99 см, а другое – уменьшили на 1 см. При этом получили новый прямоугольник меньшей площади. Какой наименьший периметр мог быть у исходного прямоугольника

Давайте решим задачу о прямоугольнике вместе!

Обозначим стороны исходного прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) и \(b\) — целые числа, измеряемые в сантиметрах. Тогда его площадь будет равна \(S = a \times b\).

Теперь рассмотрим изменения: одно измерение увеличивается на 99 см, а другое уменьшается на 1 см. В результате получаем новый прямоугольник со сторонами \(a + 99\) и \(b - 1\). Его площадь будет равна \(S' = (a + 99) \times (b - 1)\).

Согласно условию задачи, площадь нового прямоугольника меньше площади исходного: \[ (a + 99)(b - 1) < ab. \]

Это неравенство можно упростить: \[ ab - a + 99b - 99 < ab. \] Убираем \(ab\) с обеих сторон: \[ - a + 99b - 99 < 0, \] что можно переписать как: \[ 99b - a < 99, \] или \[ a > 99b - 99. \]

Теперь мы хотим найти наименьший периметр исходного прямоугольника, который определяется как \(P = 2(a + b)\).

Для минимизации периметра будем использовать найденное неравенство. Поскольку \(a\) и \(b\) — целые числа, давайте выберем \(b\) и найдем соответствующее \(a\). Для этого удобно рассмотреть разные значения \(b\) и находить \(a\) таким образом, чтобы периметр был минимальным.

1. Если \(b = 1\): \[ a > 99 \times 1 - 99 = 0 \quad \Rightarrow \quad a \geq 1 \quad \Rightarrow \quad P = 2(1 + 1) = 4. \]

2. Если \(b = 2\): \[ a > 99 \times 2 - 99 = 99 \quad \Rightarrow \quad a \geq 100 \quad \Rightarrow \quad P = 2(100 + 2) = 204. \]

3. Если \(b = 3\): \[ a > 99 \times 3 - 99 = 198 \quad \Rightarrow \quad a \geq 199 \quad \Rightarrow \quad P = 2(199 + 3) = 404. \]

По аналогии можно продолжить, и видно, что при увеличении \(b\) при фиксированных \(99b - 99\) значение \(a\) значительно увеличивается, что приводит к росту периметра.

Однако, первым значением, когда \(b = 1\), даёт наименьший периметр.

Таким образом, минимальный периметр исходного прямоугольника равен \(4\).