сколько различных решений имеет система уравнений (x+y)(x-3y+1)(x-y)=0 (2y-x-1)(x+y-4)y=0

Чтобы определить количество различных решений системы уравнений

\[ (x+y)(x-3y+1)(x-y)=0 \] \[ (2y-x-1)(x+y-4)y=0, \]

мы будем рассматривать каждое из уравнений на наличие решений.

1. Решение первого уравнения: Это произведение трех множителей, и каждое из них должно быть равно нулю:

   • \(x + y = 0\) ⇒ \(y = -x\)
   • \(x - 3y + 1 = 0\) ⇒ \(x = 3y - 1\)
   • \(x - y = 0\) ⇒ \(x = y\)

2. Решение второго уравнения: Здесь также произведение множителей:

   • \(2y - x - 1 = 0\) ⇒ \(x = 2y - 1\)
   • \(x + y - 4 = 0\) ⇒ \(x = 4 - y\)
   • \(y = 0\)

Теперь мы будем искать пересечения решений из первого уравнения со вторым:

1. Подставляем \(y = -x\) в уравнение \(y = 0\) (из второго уравнения):

   • \(y = 0\) не даст решения в терминах \(x\).

2. Подставляем \(y = -x\) в \(2y - x - 1 = 0\):

   • Получаем \(2(-x) - x - 1 = 0\) ⇒ \(-3x - 1 = 0\) ⇒ \(x = -\frac{1}{3}\), следовательно, \(y = \frac{1}{3}\).

3. Подставляем \(y = -x\) в \(x + y - 4 = 0\):

   • Получим \(x - x - 4 = 0\), что не дает решения.

4. Подставляем \(x = 3y - 1\) в \(y = 0\):

   • \(3(0) - 1 = -1\), \(x = -1\), \(y = 0\).

5. Подставляем \(x = 3y - 1\) в \(2y - x - 1 = 0\):

   • Получим \(2y - (3y - 1) - 1 = 0\) ⇒ \(1 - y - 1 = 0\) ⇒ \(y = 0\), значит, \(x = -1\).

6. Подставляем \(x = 3y - 1\) в \(x + y - 4 = 0\):

   • \(3y - 1 + y - 4 = 0\) ⇒ \(4y - 5 = 0\) ⇒ \(y = \frac{5}{4}\), следовательно, \(x = \frac{3 \cdot 5}{4} - 1 = \frac{15}{4} - \frac{4}{4} = \frac{11}{4}\).

7. Подставляем \(x = y\) в \(y = 0\):

   • Здесь \(y = 0\) и \(x = 0\) — еще одна пара решений.

8. Подставляем \(x = y\) в \(2y - x - 1 = 0\):

   • \(2x - x - 1 = 0\) ⇒ \(x - 1 = 0\) ⇒ \(x = 1\), \(y = 1\).

Теперь соберем все найденные пары:

• \((-1, 0)\)
• \((0, 0)\)
• \((\frac{11}{4}, \frac{5}{4})\)
• \((1, 1)\)

На основании всех шагов, мы находим, что система имеет 4 различных решения.