С левого конца прямой беговой дорожки одновременно стартовали заяц и волк, а с правого им навстречу – лиса. Каждый бежит со своей постоянной скоростью. В момент встречи волка и…
С левого конца прямой беговой дорожки одновременно стартовали заяц и волк, а с правого им навстречу – лиса. Каждый бежит со своей постоянной скоростью. В момент встречи волка и лисы заяц как раз добежал до правого конца дорожки. Там он мгновенно развернулся и побежал назад. Когда он встретился с волком, лиса как раз добежала до левого конца. Во сколько раз заяц быстрее волка?
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые переменные и проанализируем ситуацию.
Пусть:
- \( V_z \) - скорость зайца,
- \( V_w \) - скорость волка,
- \( V_l \) - скорость лисы.
Пусть длина дорожки будет \( L \).
Первый этап: Заяц и волк стартуют одновременно. Лиса начинает бежать навстречу им с правого конца. Когда волк встречается с лисой, заяц успевает добежать до правого конца дорожки.
Время, за которое заяц добежал до правого конца, можно выразить как: \[ t_1 = \frac{L}{V_z} \]
За это время волк пробегает расстояние \( V_w \cdot t_1 \), а лиса - \( V_l \cdot t_1 \). Поскольку волк и лиса встретились в этот момент, имеем: \[ V_w \cdot t_1 + V_l \cdot t_1 = L \] Подставляя \( t_1 \): \[ V_w \cdot \frac{L}{V_z} + V_l \cdot \frac{L}{V_z} = L \] Упрощая, получаем: \[ V_w + V_l = V_z \]
Второй этап: Когда заяц развернется и побежит обратно, волк будет находиться на пути следования лисы. К этому моменту лиса добегает до левого конца дорожки. Поскольку расстояние, которое пробегает лиса до этого момента, также равно \( L \), то время, затраченное лисой на этот путь, составит: \[ t_2 = \frac{L}{V_l} \]
За это время волк пробегает: \[ V_w \cdot t_2 = V_w \cdot \frac{L}{V_l} \]
И тогда, в момент встречи волка и зайца, сумма расстояний, которые пробегают волк и заяц, равна длине дорожки: \[ V_w \cdot \frac{L}{V_l} + \left(V_z \cdot \left(t_2 - \frac{L}{V_z}\right)\right) = L \]
Соотношение скоростей: Мы видим, что заяц пробегает расстояние \( L \) за время \( t_1 \) и затем ещё раз пробегает часть расстояния в обратном направлении. Мы можем воспользоваться соотношениями, которые уже получили.
Теперь подхватываем, что из первого этапа у нас уже есть равнение: \[ V_z = V_w + V_l \]
Таким образом, мы можем установить отношения скоростей. Поскольку зайцу удаётся добежать до конца и развернуться, его скорость \( V_z \) будет больше, чем скорость волка \( V_w \) в определённое количество раз. В итоге соотношение скоростей можно подвести к следующему:
\[ \text{Во сколько раз заяц быстрее волка?} = \frac{V_z}{V_w} \]
При условии равенства скоростей, можем выразить: \[ \text{Если } V_l = V_w, \text{ то } V_z = 2V_w \therefore \frac{V_z}{V_w} = 2. \]
Таким образом, заяц в два раза быстрее волка.
