сколько существует пар натуральных чисел (x;y), таких, что 3x+4y=100?

Чтобы решить задачу о количестве пар натуральных чисел \((x; y)\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\), начнем с анализа уравнения.

1. Перепишем уравнение:
   \(4y = 100 - 3x\)
   \(y = \frac{100 - 3x}{4}\)

2. Найдём ограничения для \(x\):
   Так как \(y\) должно быть натуральным числом, правую часть уравнения необходимо чтобы делилась на 4. Это значит, что \(100 - 3x\) должно быть положительным и делиться на 4.

   • \(100 - 3x > 0\)
     Отсюда:
     \(100 > 3x\)
     \(x < \frac{100}{3} \approx 33.33\)
     Таким образом, \(x\) может принимать значения от 1 до 33 (включительно).

3. Проведем проверку делимости:
   \(100 - 3x \equiv 0 \ (\text{mod} \ 4)\)
   Вычисляем \(100 \mod 4\):
   \(100 \equiv 0\ (\text{mod} \ 4)\)
   Условие становится:
   \(-3x \equiv 0\ (\text{mod} \ 4)\)
   Это упрощается до:
   \(3x \equiv 0\ (\text{mod} \ 4)\)
   Чтобы \(3x\) делилось на 4, \(x\) должно быть кратно 4, так как 3 и 4 взаимно простые.
   Таким образом, возможные значения \(x\) должны быть \(x = 4k\), где \(k\) — натуральное число.

4. Найдем возможные \(k\):
   \(4k \leq 33\) даёт \(k \leq \frac{33}{4} \approx 8.25\).
   Следовательно, \(k\) может принимать значения от 1 до 8.

5. Проверка для каждого \(k\):
   Для каждого \(k\) от 1 до 8, соответственно \(x = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\):

   • Когда \(x = 4\), \(y = \frac{100 - 3 \cdot 4}{4} = 23\)
   • Когда \(x = 8\), \(y = \frac{100 - 3 \cdot 8}{4} = 17\)
   • Когда \(x = 12\), \(y = \frac{100 - 3 \cdot 12}{4} = 11\)
   • Когда \(x = 16\), \(y = \frac{100 - 3 \cdot 16}{4} = 5\)
   • Когда \(x = 20\), \(y = \frac{100 - 3 \cdot 20}{4} = -1\) (недопустимо).

Таким образом, легитимные пары \((x; y)\):

• \((4; 23)\)
• \((8; 17)\)
• \((12; 11)\)
• \((16; 5)\)

Общее количество пар \((x; y)\), которые удовлетворяют уравнению \(3x + 4y = 100\), составляет 4.