Решите уравнение 27 + у - 2х + 6y = 0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х - Зу.

Для решения уравнения \( 27 + y - 2x + 6y = 0 \) сначала упростим его. Объединим подобные члены:

\[ 27 + 7y - 2x = 0. \]

Теперь выражим \( x \) через \( y \):

\[ 2x = 27 + 7y, \] \[ x = \frac{27 + 7y}{2}. \]

Так как \( x \) должен быть целым числом, то \( 27 + 7y \) должно быть четным числом. Это возможно, если \( 7y \) четное, что происходит, когда \( y \) четное (поскольку 7 нечетное число и умножение на четное дает четное). Таким образом, мы можем записать \( y = 2k \) для некоторого целого \( k \). Подставим это в уравнение:

\[ x = \frac{27 + 7(2k)}{2} = \frac{27 + 14k}{2}. \]

Теперь нам нужно, чтобы \( 27 + 14k \) было четным, а оно будет четным, если \( k \) также будет нечетным (так как 27 — нечетное число, и нечетное + четное = четное). Обозначим \( k = 2m + 1 \), где \( m \) — целое число.

Теперь подставляем \( k \):

\[ y = 2(2m + 1) = 4m + 2, \] \[ x = \frac{27 + 14(2m + 1)}{2} = \frac{27 + 28m + 14}{2} = \frac{41 + 28m}{2}. \]

Теперь упрощаем \( x \):

\[ x = 20.5 + 14m. \]

Для целого \( x \), \( 20.5 + 14m \) должно быть целым, что возможно, только если \( m \) принимает определенные значения, так как \( 20.5 \) — нецелое число. Это значит, что \( m \) должно быть равно \( -1 \) (таким образом, \( x \) будет наименьшим целым числом).

Теперь определим \( y \):

\[ k = -1 \Rightarrow y = 2(-1) = -2. \]

Подставим \( k = -1 \) в \( x \):

\[ x = 20.5 - 14 = 6.5 \text{ (не целое)}. \]

Настоящие \( k \) равняется 0, то:

\[ k = 0 \Rightarrow y = 2(0) = 0, \] \[ x = \frac{27 + 0}{2} = 13.5 \text{ (не целое)}. \]

Ближайшее целое следовательно \( 13 \), и учтите целые \( k = 1 \):

\[ k = 1 \Rightarrow y = 4, x = 21. \]

Следовательно, наибольшее значение \( x - 3y \) будет:

\[ 21 - 3(4) = 21 - 12 = 9. \]

Заключение: Наибольшее значение выражения \( x - 3y \) равно \( 9 \).