Маша и Даша изготовляли фантики и бантики. Работу они начали и закончили одновременно. Сначала Маша делала бантики, а Даша — фантики, но в какой-то момент они поменялись. Даша и…

Пусть \(x\) — время, в течение которого Маша делала бантики, а \(y\) — время, в течение которого Даша делала фантики. После того, как они поменялись, Даша делала бантики, а Маша — фантики.

Обозначим скорость изготовления фантиков Маши как \(v_f\), а скорость изготовления бантиков Маши как \(v_b\). Так как Даша делает и фантики, и бантики в 4 раза быстрее, чем Маша, то её скорость можно обозначить как \(4v_f\) для фантиков и \(4v_b\) для бантиков.

Из условия задачи знаем следующее:

1. Маша и Даша изготовили поровну бантики. Обозначим количество изготовленных бантиков как \(N_b\): \[ N_b = v_b \cdot x = 4v_b \cdot (y - x) \] Отсюда получаем: \[ v_b \cdot x = 4v_b \cdot (y - x) \] Упрощая, получаем: \[ x = 4(y - x) \] \[ x = 4y - 4x \] \[ 5x = 4y \implies y = \frac{5}{4}x \]

2. Общее количество фантиков, изготовленных Машей и Дашей, равно 850: \[ N_f = v_f \cdot (y - x) + 4v_f \cdot x = 850 \] Подставим \(y\) из предыдущего уравнения: \[ = v_f \cdot \left(\frac{5}{4}x - x\right) + 4v_f \cdot x = 850 \] \[ = v_f \cdot \left(\frac{1}{4}x\right) + 4v_f \cdot x = 850 \] \[ = v_f \cdot \left(\frac{1}{4}x + 4x\right) = 850 \] \[ = v_f \cdot \left(\frac{1}{4}x + \frac{16}{4}x\right) = v_f \cdot \left(\frac{17}{4}x\right) = 850 \] Отсюда находим скорость Маши: \[ v_f \cdot \frac{17}{4}x = 850 \implies v_f = \frac{850 \cdot 4}{17x} = \frac{3400}{17x} \]

Теперь выразим количество фантиков, изготовленных Машей: \[ N_f^{Маша} = v_f \cdot (y - x) = v_f \cdot \left(\frac{5}{4}x - x\right) = v_f \cdot \frac{1}{4}x \] Подставим \(v_f\): \[ N_f^{Маша} = \frac{3400}{17x} \cdot \frac{1}{4}x = \frac{3400}{68} = 50 \]

Таким образом, Маша изготовила \(50\) фантиков.