Сколько существует пар натуральных чисел (х; у), таких, что 3х + 4y = 100?

Чтобы найти количество пар натуральных чисел \((x, y)\), удовлетворяющих уравнению \(3x + 4y = 100\), можно выразить \(y\) через \(x\):

\[ 4y = 100 - 3x \implies y = \frac{100 - 3x}{4} \]

Поскольку \(y\) должно быть натуральным числом, \(100 - 3x\) должно быть положительным и делиться на 4.

1. Найдём ограничения для \(x\): \[ 100 - 3x > 0 \implies 100 > 3x \implies x < \frac{100}{3} \approx 33.33 \] Поскольку \(x\) — натуральное число, \(x\) может принимать значения от 1 до 33.

2. Найдём, когда \(100 - 3x\) делится на 4: Это значит, что \(100 - 3x \equiv 0 \mod 4\). Рассмотрим \(100 \mod 4\): \[ 100 \equiv 0 \mod 4 \] Теперь проверим \(3x \mod 4\): \[ 3x \equiv 0 \mod 4 \implies x \equiv 0 \mod \frac{4}{\gcd(3,4)} \implies x \equiv 0 \mod 4 \] Это означает, что \(x\) может принимать значения \(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32\).

3. Подсчитаем количество подходящих \(x\): Значения \(x\) от 4 до 32 включительно, кратные 4:

   • \(x = 4\)
   • \(x = 8\)
   • \(x = 12\)
   • \(x = 16\)
   • \(x = 20\)
   • \(x = 24\)
   • \(x = 28\)
   • \(x = 32\)

Это даёт нам 8 подходящих значений \(x\). Теперь для каждого из этих значений можно найти соответствующее \(y\):

Для каждого \(x\):

• \(x = 4\): \(y = \frac{100 - 12}{4} = 22\)
• \(x = 8\): \(y = \frac{100 - 24}{4} = 19\)
• \(x = 12\): \(y = \frac{100 - 36}{4} = 16\)
• \(x = 16\): \(y = \frac{100 - 48}{4} = 13\)
• \(x = 20\): \(y = \frac{100 - 60}{4} = 10\)
• \(x = 24\): \(y = \frac{100 - 72}{4} = 7\)
• \(x = 28\): \(y = \frac{100 - 84}{4} = 4\)
• \(x = 32\): \(y = \frac{100 - 96}{4} = 1\)

Таким образом, существуют 8 пар натуральных чисел \((x, y)\), таких что \(3x + 4y = 100\).