Решите уравнение х²+ y²-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х–Зу.

Question 1

Задача Задача №2383009

А

Аноним

01 декабря 2024 10:19 · публичный вопрос

А

Аноним 01 декабря 2024 10:19

Решите уравнение х²+ y²-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х–Зу.

Answer

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, начнём с упрощения уравнения. Приведём к стандартному виду, группируя квадратные члены.

Уравнение можно переписать как:

\[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \]

Теперь мы закончим квадрат для \( x \) и \( y \):

Для \( x^2 - 2x \) добавляем и вычитаем \( 1 \) (это половина коэффициента \( -2 \) в квадрате): \[ (x-1)^2 - 1 \]
Для \( y^2 + 6y \) добавляем и вычитаем \( 9 \) (это половина коэффициента \( 6 \) в квадрате): \[ (y+3)^2 - 9 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение:

\[ (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 = 0 \]

Это уравнение упрощается до:

\[ (x-1)^2 + (y+3)^2 - 10 = 0 \]

Или

\[ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 \]

Это уравнение окружности с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \).

Теперь найдем все целые точки \( (x, y) \), которые удовлетворяют этому уравнению. Поскольку радиус \( \sqrt{10} \) между 3 и 4, нам нужно проверить целочисленные комбинации.

Возможные пары \( (x-1, y+3) \) - это такие комбинированные значения, которые в сумме квадратов дают \( 10 \):

\( (3, 1) \)
\( (3, -1) \)
\( (1, 3) \)
\( (1, -3) \)
\((-3, 1)\)
\((-3, -1)\)
\((-1, 3)\)
\((-1, -3)\)

Теперь можем перевести эти координаты обратно в \( x \) и \( y \):

\( (4, -2) \)
\( (4, -4) \)
\( (2, 0) \)
\( (2, -6) \)
\( (-2, -2) \)
\( (-2, -4) \)
\( (0, 0) \)
\( (0, -6) \)

Теперь нужно найти значение \( x - 3y \) для каждой из этих пар.

Для \( (4, -2) \): \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \)
Для \( (4, -4) \): \( 4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16 \)
Для \( (2, 0) \): \( 2 - 3(0) = 2 \)
Для \( (2, -6) \): \( 2 - 3(-6) = 2 + 18 = 20 \)
Для \( (-2, -2) \): \( -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4 \)
Для \( (-2, -4) \): \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \)
Для \( (0, 0) \): \( 0 - 3(0) = 0 \)
Для \( (0, -6) \): \( 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \)

Наибольшее значение выражения \( x - 3y \) среди всех вычисленных значений равно \( 20 \).

Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) для целых \( (x, y) \) из данного уравнения равно \( 20 \).

Question 2

Решите уравнение х²+ y²-2x+6y=0 в целых числах. В ответе укажите наибольшее значение выражения х–Зу.

Answer

Чтобы решить уравнение \( x^2 + y^2 - 2x + 6y = 0 \) в целых числах, начнём с упрощения уравнения. Приведём к стандартному виду, группируя квадратные члены. Уравнение можно переписать как: \[ x^2 - 2x + y^2 + 6y = 0 \] Теперь мы закончим квадрат для \( x \) и \( y \): 1. Для \( x^2 - 2x \) добавляем и вычитаем \( 1 \) (это половина коэффициента \( -2 \) в квадрате): \[ (x-1)^2 - 1 \] 2. Для \( y^2 + 6y \) добавляем и вычитаем \( 9 \) (это половина коэффициента \( 6 \) в квадрате): \[ (y+3)^2 - 9 \] Теперь подставим эти выражения обратно в уравнение: \[ (x-1)^2 - 1 + (y+3)^2 - 9 = 0 \] Это уравнение упрощается до: \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 - 10 = 0 \] Или \[ (x-1)^2 + (y+3)^2 = 10 \] Это уравнение окружности с центром в точке \( (1, -3) \) и радиусом \( \sqrt{10} \). Теперь найдем все целые точки \( (x, y) \), которые удовлетворяют этому уравнению. Поскольку радиус \( \sqrt{10} \) между 3 и 4, нам нужно проверить целочисленные комбинации. Возможные пары \( (x-1, y+3) \) - это такие комбинированные значения, которые в сумме квадратов дают \( 10 \): - \( (3, 1) \) - \( (3, -1) \) - \( (1, 3) \) - \( (1, -3) \) - \((-3, 1)\) - \((-3, -1)\) - \((-1, 3)\) - \((-1, -3)\) Теперь можем перевести эти координаты обратно в \( x \) и \( y \): 1. \( (4, -2) \) 2. \( (4, -4) \) 3. \( (2, 0) \) 4. \( (2, -6) \) 5. \( (-2, -2) \) 6. \( (-2, -4) \) 7. \( (0, 0) \) 8. \( (0, -6) \) Теперь нужно найти значение \( x - 3y \) для каждой из этих пар. 1. Для \( (4, -2) \): \( 4 - 3(-2) = 4 + 6 = 10 \) 2. Для \( (4, -4) \): \( 4 - 3(-4) = 4 + 12 = 16 \) 3. Для \( (2, 0) \): \( 2 - 3(0) = 2 \) 4. Для \( (2, -6) \): \( 2 - 3(-6) = 2 + 18 = 20 \) 5. Для \( (-2, -2) \): \( -2 - 3(-2) = -2 + 6 = 4 \) 6. Для \( (-2, -4) \): \( -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 \) 7. Для \( (0, 0) \): \( 0 - 3(0) = 0 \) 8. Для \( (0, -6) \): \( 0 - 3(-6) = 0 + 18 = 18 \) Наибольшее значение выражения \( x - 3y \) среди всех вычисленных значений равно \( 20 \). Таким образом, наибольшее значение выражения \( x - 3y \) для целых \( (x, y) \) из данного уравнения равно \( 20 \).