Найдите наименьшее натуральное число которое при деление на 7 даёт в остатке один а при деление на 9 даёт в остатке 3

Чтобы найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт в остатке 1, а при делении на 9 – в остатке 3, можно использовать систему сравнений.

Обозначим искомое число буквой \( x \). Тогда у нас есть следующие два уравнения:

1. \( x \equiv 1 \mod 7 \) (это значит, что при делении \( x \) на 7 остаток будет 1)
2. \( x \equiv 3 \mod 9 \) (это значит, что при делении \( x \) на 9 остаток будет 3)

Для начала можно выразить \( x \) из первого уравнения: \[ x = 7k + 1 \] где \( k \) — это целое число.

Теперь подставим \( x \) во второе уравнение: \[ 7k + 1 \equiv 3 \mod 9 \]

Упростим это уравнение: \[ 7k \equiv 3 - 1 \mod 9 \] \[ 7k \equiv 2 \mod 9 \]

Теперь чтобы решить это уравнение, найдем обратное значение к 7 по модулю 9. Вполне просто заметить, что: \[ 7 \times 4 = 28 \equiv 1 \mod 9 \]

Поэтому наоборот, 7 \( \cdot 4 \equiv 1 \mod 9 \).

Теперь умножим обе стороны нашего уравнения на 4: \[ k \equiv 4 \cdot 2 \mod 9 \] \[ k \equiv 8 \mod 9 \]

Таким образом, можем записать \( k \): \[ k = 9m + 8 \] где \( m \) — это также целое число.

Теперь подставим это значение \( k \) обратно в наше уравнение для \( x \): \[ x = 7(9m + 8) + 1 \] \[ x = 63m + 56 + 1 \] \[ x = 63m + 57 \]

Теперь находим наименьшее натуральное число, подставив \( m = 0 \): \[ x = 57 \]

Таким образом, наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт в остатке 1, а при делении на 9 – в остатке 3, равно 57.