Чему равен угол между прямыми ВА1 и В₁D₁ в кубе ABCDA1B1C1D₁? Ответ дайте в градусах.

Чтобы найти угол между прямыми \( BA_1 \) и \( B_1D_1 \) в кубе \( ABCDA_1B_1C_1D_1 \), рассмотрим расположение этих прямых в пространстве куба.

1. Определим координаты вершин куба:

   • \( A(0, 0, 0) \)
   • \( B(1, 0, 0) \)
   • \( C(1, 1, 0) \)
   • \( D(0, 1, 0) \)
   • \( A_1(0, 0, 1) \)
   • \( B_1(1, 0, 1) \)
   • \( C_1(1, 1, 1) \)
   • \( D_1(0, 1, 1) \)

2. Определим векторы этих прямых:

   • Вектор \( \vec{BA_1} \) можно найти из координат \( B(1, 0, 0) \) и \( A_1(0, 0, 1) \): \[ \vec{BA_1} = A_1 - B = (0, 0, 1) - (1, 0, 0) = (-1, 0, 1) \]
   • Вектор \( \vec{B_1D_1} \) можно найти из координат \( B_1(1, 0, 1) \) и \( D_1(0, 1, 1) \): \[ \vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (0, 1, 1) - (1, 0, 1) = (-1, 1, 0) \]

3. Используем формулу для нахождения угла между векторами: Угол \( \theta \) между векторами \( \vec{A} \) и \( \vec{B} \) можно найти по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| |\vec{B}|} \] где \( \vec{A} \cdot \vec{B} \) — скалярное произведение векторов, а \( |\vec{A}| \) и \( |\vec{B}| \) — их длины.

4. Находим скалярное произведение: \[ \vec{BA_1} \cdot \vec{B_1D_1} = (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1 \]

5. Найдём длины векторов: \[ |\vec{BA_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \] \[ |\vec{B_1D_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]

6. Подставим в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} \]

7. Найдём угол: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = 60^{\circ} \]

Таким образом, угол между прямыми \( BA_1 \) и \( B_1D_1 \) в кубе составляет \( 60^{\circ} \).