Найдите наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее следующим условиям: сумма его цифр равна 15, а сумма квадратов его цифр равна 89; если из этого числа вычесть 99, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.

Обозначим трехзначное число как \(abc\), где \(a\), \(b\) и \(c\) – это его цифры. Условия задачи можно записать в виде уравнений:

1. \(a + b + c = 15\)
2. \(a^2 + b^2 + c^2 = 89\)
3. \(abc - 99 = cba\)

Третье условие можно переписать подробнее. Запишем трехзначное число в виде: \[ abc = 100a + 10b + c \] и \[ cba = 100c + 10b + a. \] Тогда условие можно записать как: \[ 100a + 10b + c - 99 = 100c + 10b + a. \] Упростим это уравнение: \[ 100a + c - 99 = 100c + a, \] что можно привести к виду: \[ 99a - 99c = 99, \] или \[ a - c = 1. \] Это дает нам первое уравнение для поиска цифр \(a\) и \(c\): \[ a = c + 1. \]

Теперь подставим \(a\) в первое и второе уравнения:

1. \(c + 1 + b + c = 15\), что дает: \[ 2c + b + 1 = 15 \rightarrow 2c + b = 14 \quad \text{(уравнение 1)}. \]

2. \((c + 1)^2 + b^2 + c^2 = 89\), развивая это мы получаем: \[ (c^2 + 2c + 1) + b^2 + c^2 = 89 \rightarrow 2c^2 + 2c + b^2 + 1 = 89 \rightarrow 2c^2 + 2c + b^2 = 88 \quad \text{(уравнение 2)}. \]

Теперь у нас есть две системы:

1. \(b = 14 - 2c\) (из уравнения 1)
2. Подставим \(b\) из первого уравнения во второе: \[ 2c^2 + 2c + (14 - 2c)^2 = 88. \]

Раскроем вторую часть: \[ (14 - 2c)^2 = 196 - 56c + 4c^2. \] Теперь подставим это обратно: \[ 2c^2 + 2c + 196 - 56c + 4c^2 = 88 \rightarrow 6c^2 - 54c + 196 - 88 = 0 \rightarrow 6c^2 - 54c + 108 = 0. \] Сократим на 6: \[ c^2 - 9c + 18 = 0. \] Теперь найдем корни данное квадратное уравнение используя формулу: \[ c = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{2} = \frac{9 \pm 3}{2}. \] Тогда получаем два значения: \[ c_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad c_2 = \frac{6}{2} = 3. \] Теперь найдем соответствующие \(a\) и \(b\):

1. Если \(c = 6\), то: \[ a = 6 + 1 = 7, \quad b = 14 - 2 \cdot 6 = 2. \] Получается число 726.

2. Если \(c = 3\): \[ a = 3 + 1 = 4, \quad b = 14 - 2 \cdot 3 = 8. \] Получается число 483.

Теперь проверим каждое найденное число на удовлетворение условиям.

Проверка числа 726:

1. Сумма: \(7 + 2 + 6 = 15\) (удовлетворяет).
2. Сумма квадратов: \(7^2 + 2^2 + 6^2 = 49 + 4 + 36 = 89\) (удовлетворяет).
3. Проверка на обращение: \(726 - 99 = 627\), и действительно \(627\) – это именно число, записанное в обратном порядке от \(726\).

Таким образом, наибольшее трёхзначное число, удовлетворяющее всем условиям, равно 726.